Trasformata Fourier funzione Sen
Buonasera a tutti,
Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)=sen t*chi[-pi,pi]$
Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier :
$F(ω)=int_-oo^oo sen t*chi[-pi,pi]e^(−iωt) dt =int_-pi^pi sen t*e^(−iωt) $
Applicando la definizone del $sent $ di Eulero e risolvendo gli integrali :
$F(ω)=1/(2i)*int_-pi^pi e^(it*(i-omega)) dt + 1/(2i)*int_-pi^pi e^(-it*(i-omega)) dt$
trovo la seguente espressione :
$(e^(ipi*(1-omega))*e^(-ipi*(1-omega)))/omega^2$
Detto risultato assomiglia alla definizione di Eulero del coseno ma non so come manipolare ulteriormente.
Magari ho commesso qualche errore di calcolo che mi è sfuggito. Qualcuno potrebbe indicami l'errore commesso ed eventualmente il passaggio corretto da eseguire ?
Grazie mille del supporto !
Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)=sen t*chi[-pi,pi]$
Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier :
$F(ω)=int_-oo^oo sen t*chi[-pi,pi]e^(−iωt) dt =int_-pi^pi sen t*e^(−iωt) $
Applicando la definizone del $sent $ di Eulero e risolvendo gli integrali :
$F(ω)=1/(2i)*int_-pi^pi e^(it*(i-omega)) dt + 1/(2i)*int_-pi^pi e^(-it*(i-omega)) dt$
trovo la seguente espressione :
$(e^(ipi*(1-omega))*e^(-ipi*(1-omega)))/omega^2$
Detto risultato assomiglia alla definizione di Eulero del coseno ma non so come manipolare ulteriormente.
Magari ho commesso qualche errore di calcolo che mi è sfuggito. Qualcuno potrebbe indicami l'errore commesso ed eventualmente il passaggio corretto da eseguire ?
Grazie mille del supporto !
Risposte
Ciao frat92ds,
Tanto per cominciare quella proposta non è una funzione triangolo, ma la funzione seguente:
$f(t) = {(sin t \text{ per } -\pi < t < \pi),(0 \text{ altrove }):} $
Poi hai sbagliato ancora una volta la formula di Eulero per il seno, infatti si ha:
$ sin t = (e^{i t} - e^{- i t})/(2 i) $
Riprova considerando quanto ti ho scritto...
"frat92ds":
Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)=sent \cdot \chi[−\pi,\pi]$
Tanto per cominciare quella proposta non è una funzione triangolo, ma la funzione seguente:
$f(t) = {(sin t \text{ per } -\pi < t < \pi),(0 \text{ altrove }):} $
Poi hai sbagliato ancora una volta la formula di Eulero per il seno, infatti si ha:
$ sin t = (e^{i t} - e^{- i t})/(2 i) $
Riprova considerando quanto ti ho scritto...
Ops, hai ragione. Ho corretto la formula di Eulero del Seno e ora mi risulta : $2/3pi*cos(omega/2)$
Negativo...
Se non ho fatto male i conti mi risulta
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t}\text{d}t = \int_{-\pi}^{\pi} e^{-i \omega t} sin t \text{d}t = ... = (2 i sin(\pi \omega))/(\omega^2 - 1) $
Ho ottenuto lo stesso risultato anche considerando che $ e^{-i \omega t} = cos(\omega t) - i sin(\omega t) $ e quindi si ha:
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t}\text{d}t = \int_{-\pi}^{\pi} sin t cos(\omega t)\text{d}t - i \int_{-\pi}^{\pi} sin t sin(\omega t)\text{d}t = 0 - i \int_{-\pi}^{\pi} sin t sin(\omega t)\text{d}t = $
$ = - i \int_{-\pi}^{\pi} sin t sin(\omega t)\text{d}t = ... = (2 i sin(\pi \omega))/(\omega^2 - 1) $
ove il primo integrale è nullo in quanto si tratta di una funzione dispari sull'intervallo simmetrico $(-\pi, \pi) $, mentre per il secondo integrale si è fatto uso della terza formula di Werner
$sin\alpha sin\beta = 1/2 [cos(\alpha -\beta) - cos(\alpha + \beta)] $
con $\alpha = t $ e $\beta = \omega t $
Se non ho fatto male i conti mi risulta
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t}\text{d}t = \int_{-\pi}^{\pi} e^{-i \omega t} sin t \text{d}t = ... = (2 i sin(\pi \omega))/(\omega^2 - 1) $
Ho ottenuto lo stesso risultato anche considerando che $ e^{-i \omega t} = cos(\omega t) - i sin(\omega t) $ e quindi si ha:
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t}\text{d}t = \int_{-\pi}^{\pi} sin t cos(\omega t)\text{d}t - i \int_{-\pi}^{\pi} sin t sin(\omega t)\text{d}t = 0 - i \int_{-\pi}^{\pi} sin t sin(\omega t)\text{d}t = $
$ = - i \int_{-\pi}^{\pi} sin t sin(\omega t)\text{d}t = ... = (2 i sin(\pi \omega))/(\omega^2 - 1) $
ove il primo integrale è nullo in quanto si tratta di una funzione dispari sull'intervallo simmetrico $(-\pi, \pi) $, mentre per il secondo integrale si è fatto uso della terza formula di Werner
$sin\alpha sin\beta = 1/2 [cos(\alpha -\beta) - cos(\alpha + \beta)] $
con $\alpha = t $ e $\beta = \omega t $
Non avevo pensato all'utilizzo della notazione trigonometrica del numero complesso. Sono partito subito con la notazione esponenziale. Ma forse in questo caso era più semplice come hai fatto te.
Ora provo a rivedere i calcoli poi al limite riprovo con la notazione suggerita
. Grazie
Ora provo a rivedere i calcoli poi al limite riprovo con la notazione suggerita
. Grazie
"frat92ds":
Ops, hai ragione. Ho corretto la formula di Eulero del Seno e ora mi risulta : $2/3pi*cos(omega/2)$
Questo é sbagliato di sicuro. La funzione da trasformare è dispari, quindi la trasformata di Fourier deve essere puramente immaginaria.
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