Trasformata di Laplace di integrali particolari
Buona domenica a tutti 
Ho dei problemi riguardo la trasformata di Laplace di integrali. Le ho provate tutte, applicando la definizione ma non riesco a trovare la soluzione giusta.
Ho visto in alcuni esempi che si utlizza il teorema di FubiniTonelli, ma io non riesco ad applicarlo alla trasformata di laplace ( a volte cambiano gli estremi e io non riesco a capirne il senso logico).
Vi propongo un esempio in cui si chiede la risoluzione di un problema di Cauchy, in funzione di U , ( ho problemi solo riguardo gli integrali.
Grazie per la disponiblità
[tex]\dfrac{d}{dt}\left( e^tu\right ) -\int ^{t}_{0}e^{2s-t}u\left( s\right )ds=1[/tex]
con
[tex]u(0)=1[/tex]
Grazie ancora per il supporto (:
Ho dei problemi riguardo la trasformata di Laplace di integrali. Le ho provate tutte, applicando la definizione ma non riesco a trovare la soluzione giusta.
Ho visto in alcuni esempi che si utlizza il teorema di FubiniTonelli, ma io non riesco ad applicarlo alla trasformata di laplace ( a volte cambiano gli estremi e io non riesco a capirne il senso logico).
Vi propongo un esempio in cui si chiede la risoluzione di un problema di Cauchy, in funzione di U , ( ho problemi solo riguardo gli integrali.
Grazie per la disponiblità
[tex]\dfrac{d}{dt}\left( e^tu\right ) -\int ^{t}_{0}e^{2s-t}u\left( s\right )ds=1[/tex]
con
[tex]u(0)=1[/tex]
Grazie ancora per il supporto (:
Risposte
Il secondo termine del primo membro è un prodotto di convoluzione. Infatti:
$[f(t)=e^tu(t)] ^^ [g(t)=e^(-t)] rarr$
$rarr [\int_{0}^{t}f(s)g(t-s)ds=\int_{0}^{t}e^(s)u(s)e^(-t+s)ds=\int_{0}^{t}e^(2s-t)u(s)ds]$
Quindi:
$L[\int_{0}^{t}e^(2s-t)u(s)ds]=L[e^tu(t)]*L[e^(-t)]$
$[f(t)=e^tu(t)] ^^ [g(t)=e^(-t)] rarr$
$rarr [\int_{0}^{t}f(s)g(t-s)ds=\int_{0}^{t}e^(s)u(s)e^(-t+s)ds=\int_{0}^{t}e^(2s-t)u(s)ds]$
Quindi:
$L[\int_{0}^{t}e^(2s-t)u(s)ds]=L[e^tu(t)]*L[e^(-t)]$
grazie mille! molto gentile
Ok. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo