Trasformata di Fourier: valore sull'intervallo - Dirichlet?
Sono incappato in questo esercizio.
Sia $f$ la funzione ottenuta estendendo per periodicità a tutto $\mathbb{R}$ la funzione:
$g(x)= \{ (x+1, ", se " -2<= x < 1), (5-3x, ", se " 1<= x <=2) :}$
Prima mi chiede di calcolare i coefficienti di Fourier $b_k$ per $k\in\mathbb{Z}$
allora mi calcolo $b_k=i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k})=frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}kx)dx$
e trovo che $b_k=\pm\frac{8\sin(\frac{\pi}{2}k)}{(\pi k)^2}$ (ho messo $\pm$ perchè non sono sicuro sul segno, ma non importa)
Dopodiché mi chiede di calcolare il valore della serie di Fourier di $f$ sull'intervallo $[-2,2]$
Ho guardato le soluzioni e scrivono:
La funzione $f$ è continua su $\mathbb{R}$ e derivabile a tratti, quindi la sua serie di Fourier converge a $f$ in ogni punto.
Ma non spiega niente, si tratta mica dell'applicazione del criterio di Dirichelet?
Cioè che essendo $x+1$ e $5-3x$ derivabili, e che le derivate sono continue
e che esistono finiti i limiti sinistri e destri su $-2$ e $2$ di entrambe le funzioni e delle loro derivate,
e che $f(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ (avendola estesa per periodicità), allora $f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_ke^{i\frac{2\pi}{T}kx}$ ??
Grazie
Sia $f$ la funzione ottenuta estendendo per periodicità a tutto $\mathbb{R}$ la funzione:
$g(x)= \{ (x+1, ", se " -2<= x < 1), (5-3x, ", se " 1<= x <=2) :}$
Prima mi chiede di calcolare i coefficienti di Fourier $b_k$ per $k\in\mathbb{Z}$
allora mi calcolo $b_k=i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k})=frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}kx)dx$
e trovo che $b_k=\pm\frac{8\sin(\frac{\pi}{2}k)}{(\pi k)^2}$ (ho messo $\pm$ perchè non sono sicuro sul segno, ma non importa)
Dopodiché mi chiede di calcolare il valore della serie di Fourier di $f$ sull'intervallo $[-2,2]$
Ho guardato le soluzioni e scrivono:
La funzione $f$ è continua su $\mathbb{R}$ e derivabile a tratti, quindi la sua serie di Fourier converge a $f$ in ogni punto.
Ma non spiega niente, si tratta mica dell'applicazione del criterio di Dirichelet?
Cioè che essendo $x+1$ e $5-3x$ derivabili, e che le derivate sono continue
e che esistono finiti i limiti sinistri e destri su $-2$ e $2$ di entrambe le funzioni e delle loro derivate,
e che $f(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ (avendola estesa per periodicità), allora $f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_ke^{i\frac{2\pi}{T}kx}$ ??
Grazie
Risposte
Ciao JakedTux,
Innanzitutto serie di Fourier e non trasformata di Fourier: sono due cose diverse...
Secondariamente si chiama Dirichlet
Poi anche a me risulta
$b_k = \frac{8\sin(\frac{\pi}{2}k)}{(\pi k)^2} $
Le condizioni di Dirichlet sono condizioni sufficienti a garantire la convergenza della serie di Fourier $ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_ke^{i\frac{2\pi}{T}kx} $ alla funzione $f(x)$ per ogni $x$ e si possono scrivere come segue.
Qualora $f(x)$, per $x \in [- T/2, T/2] $ (nel caso in esame $T = 4$)
1) sia assolutamente integrabile, ovvero $\int_{-T/2}^{T/2} |f(x)|\text{d}x < \infty $;
2) presenti un numero finito di punti di discontinuità di prima specie , ovvero sia continua a tratti;
3) contenga un numero finito di massimi e minimi, ovvero sia derivabile ovunque, esclusi al più un numero finito di punti in cui la derivata presenta discontinuità di prima specie (nel caso in esame uno solo, $x_0 = 1$);
allora la serie $ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_ke^{i\frac{2\pi}{T}kx} $ eguaglia il valore $f(x)$ della funzione utilizzata per calcolarne i coefficienti $\hat{f}_k = 1/T \int_{- T/2}^{T/2} f(x) e^{- i(2\pi)/T kx}\text{d}x $ in tutti i punti nei quali $f(x)$ è continua, mentre nei punti di discontinuità di prima specie $x_p$ fornisce un valore pari a $(\lim_{x \to x_p^+} f(x) + \lim_{x \to x_p^-} f(x))/2 $. Le condizioni sono sufficienti e non necessarie, nel senso che anche se lo sviluppo di una funzione in serie di Fourier converge, non è detto che lo stesso soddisfi tali condizioni.
Innanzitutto serie di Fourier e non trasformata di Fourier: sono due cose diverse...
Secondariamente si chiama Dirichlet
Poi anche a me risulta
$b_k = \frac{8\sin(\frac{\pi}{2}k)}{(\pi k)^2} $
Le condizioni di Dirichlet sono condizioni sufficienti a garantire la convergenza della serie di Fourier $ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_ke^{i\frac{2\pi}{T}kx} $ alla funzione $f(x)$ per ogni $x$ e si possono scrivere come segue.
Qualora $f(x)$, per $x \in [- T/2, T/2] $ (nel caso in esame $T = 4$)
1) sia assolutamente integrabile, ovvero $\int_{-T/2}^{T/2} |f(x)|\text{d}x < \infty $;
2) presenti un numero finito di punti di discontinuità di prima specie , ovvero sia continua a tratti;
3) contenga un numero finito di massimi e minimi, ovvero sia derivabile ovunque, esclusi al più un numero finito di punti in cui la derivata presenta discontinuità di prima specie (nel caso in esame uno solo, $x_0 = 1$);
allora la serie $ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_ke^{i\frac{2\pi}{T}kx} $ eguaglia il valore $f(x)$ della funzione utilizzata per calcolarne i coefficienti $\hat{f}_k = 1/T \int_{- T/2}^{T/2} f(x) e^{- i(2\pi)/T kx}\text{d}x $ in tutti i punti nei quali $f(x)$ è continua, mentre nei punti di discontinuità di prima specie $x_p$ fornisce un valore pari a $(\lim_{x \to x_p^+} f(x) + \lim_{x \to x_p^-} f(x))/2 $. Le condizioni sono sufficienti e non necessarie, nel senso che anche se lo sviluppo di una funzione in serie di Fourier converge, non è detto che lo stesso soddisfi tali condizioni.
Queste robe, se viste solo da un punto di vista puramente formale e "matematichese", risultano piuttosto oscure. Ma l'idea di fondo non è difficile. Una serie di Fourier potrebbe non convergere, o convergere a un valore sbagliato, se succede il fenomeno seguente:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon
(vedere specialmente le figure). Ma la funzione di questo thread non è di questo tipo, perché non ha salti; infatti, questa funzione è essenzialmente una onda triangolare:
https://mathworld.wolfram.com/FourierSe ... eWave.html
Come si vede nel secondo link, e come si intuisce ragionando graficamente, per una onda triangolare non c'è problema di convergenza. Formalizzare tutte queste cose non è semplice, e anzi è stato un grosso impulso per lo sviluppo dell'analisi matematica moderna. Ma l'idea di fondo, quella più basica possibile, è tutta nei due esempi precedenti.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon
(vedere specialmente le figure). Ma la funzione di questo thread non è di questo tipo, perché non ha salti; infatti, questa funzione è essenzialmente una onda triangolare:
https://mathworld.wolfram.com/FourierSe ... eWave.html
Come si vede nel secondo link, e come si intuisce ragionando graficamente, per una onda triangolare non c'è problema di convergenza. Formalizzare tutte queste cose non è semplice, e anzi è stato un grosso impulso per lo sviluppo dell'analisi matematica moderna. Ma l'idea di fondo, quella più basica possibile, è tutta nei due esempi precedenti.
Ma le serie di Fourier sono sempre periodiche di periodo al massimo $2pi$?
È per questo che la Serie di Fourier di $\abs(x)$ converge ad $\abs(x)$ solo per $x\in[-pi,pi]$?
In generale per una funzione $f(x)$ affinché la sua serie di Fourier converga ad $f(x)$ su tutto $\mathbb{R}$ bisogna che la $f(x)$ stessa sia periodica al massimo di periodo $2pi$? Altrimenti $F(x)$ convergerà ad $f(x)$ solo in un intervallo al massimo pari ad $2pi$?
È per questo che la Serie di Fourier di $\abs(x)$ converge ad $\abs(x)$ solo per $x\in[-pi,pi]$?
In generale per una funzione $f(x)$ affinché la sua serie di Fourier converga ad $f(x)$ su tutto $\mathbb{R}$ bisogna che la $f(x)$ stessa sia periodica al massimo di periodo $2pi$? Altrimenti $F(x)$ convergerà ad $f(x)$ solo in un intervallo al massimo pari ad $2pi$?
Ciao JackedTux,
Non necessariamente, potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
"JackedTux":
Ma le serie di Fourier sono sempre periodiche di periodo al massimo $2\pi $?
Non necessariamente, potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
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