Trasformata di Fourier su gruppo abeliano compatto
Avrei una domanda in relazione alla seguente domanda:
Sia \( G \) un gruppo abeliano compatto, \(m_G \) la misura di Haar su \(G\) e \(T: G \to G \) un omomorfismo suriettivo e continuo. Dimostra che \(T\) è ergodico se e solo se l'identità \( \chi(T^n g) = \chi (g) \), per qualche \( n > 0 \) e qualche carattere \( \chi \in \widehat{G} \) implica che \( \chi \) è il carattere banale, i.e. \( \chi(g) =1 \) per ogni \(g \in G \).
Una direzione è facile, mentre per l'altra la soluzione dice quanto segue:
Assumi che nessun carattere non-banale è invariante sotto \(T^n \) e prendiamo \(f\) una funzione \(T\)-invariante in \(L_{m_G}^2\). Sia
\[ f(g) = \sum_{\chi \in \widehat{G}} c_{\chi} \chi(g) \]
l'espansione di Fourier di \(f\) e prendiamo l'identità di Parseval
\[ \sum_{\chi} \left| c_{\chi} \right|^2 = \left|| f \right||^2 < \infty \]
e per invarianza di \(f\) abbiamo che \( c_{\chi } = c_{\chi \circ T } = c_{\chi \circ T^2 } = \ldots \) e ciò implica che \(c_{\chi} = 0 \) oppure che ci sono un numero finito di caratteri distinti tra \(\chi \circ T^i \), altrimenti l'identità di Parseval non regge. Assumiamo il secondo caso per una certo carattere fissato, abbiamo che esistono \(i > j \) tale che \( \chi \circ T^i = \chi \circ T^j \) quindi \( \chi \) è \(T^{i-j}\)-invariante. Per assunzione \( \chi \) è un carattere banale, quindi per tutti i caratteri non banali \( c_{\chi} = 0\) e questo implica che \(f\) è costante pertanto \(T\) ergodica.
Domande:
1) Cos'è \(L_{m_G}^2 \) ?
2) Non ho mai visto questa espansione di Fourier, come funziona?
A causa di 2) non ho capito molto bene perché per invarianza di \(f\) abbiamo che \( c_{\chi } = c_{\chi \circ T } = c_{\chi \circ T^2 } = \ldots \) e perché questo implicherebbe che \(c_{\chi} = 0 \) oppure che ci sono un numero finito di caratteri distinti tra \(\chi \circ T^i \).
Sia \( G \) un gruppo abeliano compatto, \(m_G \) la misura di Haar su \(G\) e \(T: G \to G \) un omomorfismo suriettivo e continuo. Dimostra che \(T\) è ergodico se e solo se l'identità \( \chi(T^n g) = \chi (g) \), per qualche \( n > 0 \) e qualche carattere \( \chi \in \widehat{G} \) implica che \( \chi \) è il carattere banale, i.e. \( \chi(g) =1 \) per ogni \(g \in G \).
Una direzione è facile, mentre per l'altra la soluzione dice quanto segue:
Assumi che nessun carattere non-banale è invariante sotto \(T^n \) e prendiamo \(f\) una funzione \(T\)-invariante in \(L_{m_G}^2\). Sia
\[ f(g) = \sum_{\chi \in \widehat{G}} c_{\chi} \chi(g) \]
l'espansione di Fourier di \(f\) e prendiamo l'identità di Parseval
\[ \sum_{\chi} \left| c_{\chi} \right|^2 = \left|| f \right||^2 < \infty \]
e per invarianza di \(f\) abbiamo che \( c_{\chi } = c_{\chi \circ T } = c_{\chi \circ T^2 } = \ldots \) e ciò implica che \(c_{\chi} = 0 \) oppure che ci sono un numero finito di caratteri distinti tra \(\chi \circ T^i \), altrimenti l'identità di Parseval non regge. Assumiamo il secondo caso per una certo carattere fissato, abbiamo che esistono \(i > j \) tale che \( \chi \circ T^i = \chi \circ T^j \) quindi \( \chi \) è \(T^{i-j}\)-invariante. Per assunzione \( \chi \) è un carattere banale, quindi per tutti i caratteri non banali \( c_{\chi} = 0\) e questo implica che \(f\) è costante pertanto \(T\) ergodica.
Domande:
1) Cos'è \(L_{m_G}^2 \) ?
2) Non ho mai visto questa espansione di Fourier, come funziona?
A causa di 2) non ho capito molto bene perché per invarianza di \(f\) abbiamo che \( c_{\chi } = c_{\chi \circ T } = c_{\chi \circ T^2 } = \ldots \) e perché questo implicherebbe che \(c_{\chi} = 0 \) oppure che ci sono un numero finito di caratteri distinti tra \(\chi \circ T^i \).
Risposte
Ti conviene fare finta che \(G\) sia la circonferenza unitaria, cosicché \(\chi(g)=\exp(2\pi i ng)\), e tutta questa roba si riduce alla serie di Fourier classica. Per esempio, \(L^2_{m_g}\) non è niente di speciale, semplicemente lo spazio \(L^2\) rispetto alla misura \(m_g\). Sulla circonferenza unitaria, questo si riduce allo spazio \(L^2\) standard di funzioni periodiche.
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