Trasformata di Fourier, PDEs
Salve a tutti, mi servirebbe un aiuto con questo esercizio:
Devo risolvere l'equazione
$\partial_tf(x,t) = -e^{-t}\partial_xf(x,t), IC: f(x,0) = g(x) = e^{-x^2}, t \in [0,\infty[$
Sono passato in TdF ottenendo(ometto gli estremi di integrazione noti):
$f(x,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int \hat{f} (k,t)e^{ikx}dk$
ove $\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int f(x,t)e^{-ikx}dx$
$d/dt\hat{f}(k,t) = -ike^{-t}\hat{f}(k,t)$
Da cui :
$\hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0)e^{ik(e^{-t}-1)}$
Adesso ho che:
$\hat{f}(k,0) = 1 / \sqrt(2\pi) \int f(x,0)e^{-ikx}dx = 1 / \sqrt(2\pi) \int e^{-x^2}e^{-ikx}dx$
Questo integrale l'ho svolto e se non ho sbagliato i conti dovrebbe valere:
$\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2a) e^{-k^2 / (4a)}$ ove nel nostro caso $a = 1$ da cui:
$\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)}$
Da cui:
$\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)} e^{ik(e^{-t}-1)}$ e dunque, rimettendo tutto nell'espressione iniziale:
$f(x,t) = 1 / \sqrt(2\pi) \int 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)} e^{ik(e^{-t}-1)} e^{ikx}dk$
Da qui non ho idea di come procedere. Ho probabilmente sbagliato qualunque cosa siccome la soluzione del prof è:
$f(x,t) = e^-{(x-1+e^{-t})^2}$
Devo risolvere l'equazione
$\partial_tf(x,t) = -e^{-t}\partial_xf(x,t), IC: f(x,0) = g(x) = e^{-x^2}, t \in [0,\infty[$
Sono passato in TdF ottenendo(ometto gli estremi di integrazione noti):
$f(x,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int \hat{f} (k,t)e^{ikx}dk$
ove $\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int f(x,t)e^{-ikx}dx$
$d/dt\hat{f}(k,t) = -ike^{-t}\hat{f}(k,t)$
Da cui :
$\hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0)e^{ik(e^{-t}-1)}$
Adesso ho che:
$\hat{f}(k,0) = 1 / \sqrt(2\pi) \int f(x,0)e^{-ikx}dx = 1 / \sqrt(2\pi) \int e^{-x^2}e^{-ikx}dx$
Questo integrale l'ho svolto e se non ho sbagliato i conti dovrebbe valere:
$\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2a) e^{-k^2 / (4a)}$ ove nel nostro caso $a = 1$ da cui:
$\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)}$
Da cui:
$\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)} e^{ik(e^{-t}-1)}$ e dunque, rimettendo tutto nell'espressione iniziale:
$f(x,t) = 1 / \sqrt(2\pi) \int 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)} e^{ik(e^{-t}-1)} e^{ikx}dk$
Da qui non ho idea di come procedere. Ho probabilmente sbagliato qualunque cosa siccome la soluzione del prof è:
$f(x,t) = e^-{(x-1+e^{-t})^2}$
Risposte
Sei sicuro di doverla risolvere con la trasformata di Fourier? Te lo chiedo perchè si tratta della classica equazione da risolvere con il metodo delle carattteristiche.
No ovviamente ho deciso io di risolverlo in trasformata. Ma il corso è incentrato su questo, le funzioni caratteristiche le abbiamo solo accennate in una lezione perciò non le abbiamo mai usate.
Comunque sei hai una soluzione differente non esitare a postarla, è sempre meglio vedere come risolvere un esercizio con più approcci.
Comunque sei hai una soluzione differente non esitare a postarla, è sempre meglio vedere come risolvere un esercizio con più approcci.
Ciao SteezyMenchi,
Fino a qui ti ho seguito, poi c'è qualcosa che non mi torna...
L'Equazione Differenziale Ordinaria (EDO o ODE in inglese) è lineare del primo ordine a variabili separabili, sicché la sua soluzione sarà del tipo
$ \hat{f}(k,t) = C(k) e^{ik e^{- t}} $
Per determinare la costante $C(k) $ basta vedere cosa accade per $t = 0 $:
$ \hat{f}(k,0) = C(k) e^{ik} \implies C(k) = \hat{f}(k,0) e^{- ik} $
Ne consegue che si ha:
$ \hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0) e^{- ik} e^{ik e^{- t}} = \hat{f}(k,0) e^{- ik(1 - e^{- t})} $
A questo punto conviene calcolarsi $\hat{f}(k,0) $:
$ \hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,0)e^{-ikx} \text{d}x = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}e^{-ikx} \text{d}x = e^{- k^2/4}/\sqrt2 $
Quindi in definitiva si ha:
$ \hat{f}(k,t) = e^{- k^2/4}/\sqrt2 e^{- ik(1 - e^{- t})} = 1/\sqrt2 e^{- k^2/4 - ik(1 - e^{- t})} $
A questo punto antitrasformando si ha:
$f(x, t) = 1/\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f} (k,t) e^{ikx} \text{d}k = 1/\sqrt{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- k^2/4 - ik(1 - e^{- t})} e^{ikx} \text{d}k = $
$ = 1/\sqrt{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- k^2/4 - ik(1 - x - e^{- t})} \text{d}k = e^{-[(x-1)+e^{-t}]^2} $
come ha scritto il tuo professore.
Mi preme farti osservare che l'ultimo integrale scritto appare più complicato di quello che è, ma di fatto è analogo a quello che hai già risolto poc'anzi in $\text{d}x$: infatti l'integrazione è in $\text{d}k$, quindi la quantità $(1 - x - e^{- t})$ è una costante (rispetto a $k$), la potresti chiamare ad esempio $\beta $ se ti semplifica le cose...
Potrebbe tornarti comodo dare un'occhiata anche a questo thread.
"SteezyMenchi":
$d/dt\hat{f}(k,t) = -ike^{-t}\hat{f}(k,t) $
Fino a qui ti ho seguito, poi c'è qualcosa che non mi torna...
L'Equazione Differenziale Ordinaria (EDO o ODE in inglese) è lineare del primo ordine a variabili separabili, sicché la sua soluzione sarà del tipo
$ \hat{f}(k,t) = C(k) e^{ik e^{- t}} $
Per determinare la costante $C(k) $ basta vedere cosa accade per $t = 0 $:
$ \hat{f}(k,0) = C(k) e^{ik} \implies C(k) = \hat{f}(k,0) e^{- ik} $
Ne consegue che si ha:
$ \hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0) e^{- ik} e^{ik e^{- t}} = \hat{f}(k,0) e^{- ik(1 - e^{- t})} $
A questo punto conviene calcolarsi $\hat{f}(k,0) $:
$ \hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,0)e^{-ikx} \text{d}x = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}e^{-ikx} \text{d}x = e^{- k^2/4}/\sqrt2 $
Quindi in definitiva si ha:
$ \hat{f}(k,t) = e^{- k^2/4}/\sqrt2 e^{- ik(1 - e^{- t})} = 1/\sqrt2 e^{- k^2/4 - ik(1 - e^{- t})} $
A questo punto antitrasformando si ha:
$f(x, t) = 1/\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f} (k,t) e^{ikx} \text{d}k = 1/\sqrt{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- k^2/4 - ik(1 - e^{- t})} e^{ikx} \text{d}k = $
$ = 1/\sqrt{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- k^2/4 - ik(1 - x - e^{- t})} \text{d}k = e^{-[(x-1)+e^{-t}]^2} $
come ha scritto il tuo professore.
Mi preme farti osservare che l'ultimo integrale scritto appare più complicato di quello che è, ma di fatto è analogo a quello che hai già risolto poc'anzi in $\text{d}x$: infatti l'integrazione è in $\text{d}k$, quindi la quantità $(1 - x - e^{- t})$ è una costante (rispetto a $k$), la potresti chiamare ad esempio $\beta $ se ti semplifica le cose...
Potrebbe tornarti comodo dare un'occhiata anche a questo thread.
Si pillo una riga di latex mi si era persa, quella della soluzione della ODE, che avevo sbagliato a risolvere, non so per quale strana ragione invece di un integrale indefinito ho integrato tra $0$ e $ t$. Poi ho fatto una serie di altri piccole dimenticanze dopo che mi hanno praticamente inficiato tutti i calcoli successivi. Ti ringrazio per aver fatto chiarezza, purtroppo la stanchezza comincia a farsi sentire, son giorni che non faccio altro che risolvere pdes e esercizi di complex analysis.
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