Trasformata di Fourier.... e Trasformata di Laplace
Buongiorno!
la serie di Fourier di una funzione (resa periodica) è una sua rappresentazione utilizzando i polinomi trigonometrici (o, equivalentemente, utilizzando l'esponenziale sfruttando l'identità di Eulero).
È un modo alternativo di scrivere la funzione (se valgono alcune condizioni ovviamente).
1) cosa rappresentano, intuitivamente, le trasformate di Fourier e di Laplace? Il loro significato a livello intuitivo mi sfugge. Mi sembra più complicato di quello delle serie di Fourier.
So cosa sono le trasformate, come sono definite e in che ambiti vengono utilizzate (risoluzione EDP). Quello che mi sfugge è il loro legame con la funzione che viene trasformata.
2) tenendo conto del significato a livello intuitivo, quali sono le principali similitudini e differenze tra queste due trasformate?
la serie di Fourier di una funzione (resa periodica) è una sua rappresentazione utilizzando i polinomi trigonometrici (o, equivalentemente, utilizzando l'esponenziale sfruttando l'identità di Eulero).
È un modo alternativo di scrivere la funzione (se valgono alcune condizioni ovviamente).
Detto ciò, vi vorrei fare due domande:
1) cosa rappresentano, intuitivamente, le trasformate di Fourier e di Laplace? Il loro significato a livello intuitivo mi sfugge. Mi sembra più complicato di quello delle serie di Fourier.
So cosa sono le trasformate, come sono definite e in che ambiti vengono utilizzate (risoluzione EDP). Quello che mi sfugge è il loro legame con la funzione che viene trasformata.
2) tenendo conto del significato a livello intuitivo, quali sono le principali similitudini e differenze tra queste due trasformate?
Risposte
Trasformata di Fourier: https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY
Serie di Fourier: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k
Trasformata di Laplace: https://youtu.be/ZGPtPkTft8g
Serie di Fourier: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k
Trasformata di Laplace: https://youtu.be/ZGPtPkTft8g
Il secondo l'avevo visto
Il primo è stato illuminante, grazie
Del terzo c'ho capito poco...
Praticamente dice che la trasformata di Laplace di una funzione $f (x) $ non è altro che la trasformata di Fourier della funzione $f (x) e^(-sigma t) $, con $ sigma in RR $ .
Okay e quindi? Non ha detto un granché riguardo il significato intuitivo della trasformata di Laplace secondo me
Il primo è stato illuminante, grazie
Del terzo c'ho capito poco...
Praticamente dice che la trasformata di Laplace di una funzione $f (x) $ non è altro che la trasformata di Fourier della funzione $f (x) e^(-sigma t) $, con $ sigma in RR $ .
Okay e quindi? Non ha detto un granché riguardo il significato intuitivo della trasformata di Laplace secondo me
Sono contento che ti siano piaciuti i primi due, sono di 3blue1brown, sono un grande fan.
Quanto all'altro, non è alla stessa altezza ma speravo fosse almeno un po' interessante. Comunque non credo abbia detto proprio così, ma adesso non ho proprio il tempo di approfondire.
Quanto all'altro, non è alla stessa altezza ma speravo fosse almeno un po' interessante. Comunque non credo abbia detto proprio così, ma adesso non ho proprio il tempo di approfondire.
"dissonance":
Quanto all'altro, non è alla stessa altezza ma speravo fosse almeno un po' interessante. Comunque non credo abbia detto proprio così, ma adesso non ho proprio il tempo di approfondire.
Chiaramente ha detto anche altre cose.
Tralasciando la definizione matematica (che di sicuro mi studio sui libri), il succo del "significato intuitivo" che lui ha cercato di trasmettere mi sembra questo. E mi sembra un po' poco.
Il fatto è che sulle fonti di cui mi posso fidare (libri e appunti di professori) non trovo nulla che possa essermi di aiuto nel comprendere ciò.
Di video online amatoriali ce ne sono a bizzeffe, ma non mi fido di quasi nessuno perché sento spesso inesattezze.
"anonymous_be0efb":
Di video online amatoriali ce ne sono a bizzeffe, ma non mi fido di quasi nessuno perché sento spesso inesattezze.
Bravo. Non ti fidare dei video. Infatti mi sto pentendo di aver pubblicato quel video sulla trasformata di Laplace.
Ci vuole un libro. Sei studente? Di quale facoltà, se posso chiedere. Vediamo se troviamo una buona referenza bibliografica classica adatta alle tue esigenze.
Ingegneria Energetica.
Ho scelto un corso abbastanza avanzato (per noi ingegneri) che riguarda le equazioni alle derivate parziali, trasformata di Fourier e trasformata di Laplace.
Il professore del corso è un matematico vecchia scuola, non è un ingegnere.
Come testi ho:
- Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria (di Bramanti);
- Equazioni a derivate parziali (di Salsa).
Ho scelto un corso abbastanza avanzato (per noi ingegneri) che riguarda le equazioni alle derivate parziali, trasformata di Fourier e trasformata di Laplace.
Il professore del corso è un matematico vecchia scuola, non è un ingegnere.
Come testi ho:
- Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria (di Bramanti);
- Equazioni a derivate parziali (di Salsa).
Secondo me devi consultare il Bracewell "The Fourier transform and its applications". L'ho usato varie volte negli anni ed è uno di quei libri di ingegneria di vecchia scuola che sono dei super-classici oggi.
La tua domanda sulla trasformata di Laplace è citata alle pagine 380-381.
E' fuori stampa ormai da anni, ma sicuramente ci sarà nella biblioteca della tua università. Se cerchi online, ne troverai un PDF.
La tua domanda sulla trasformata di Laplace è citata alle pagine 380-381.
E' fuori stampa ormai da anni, ma sicuramente ci sarà nella biblioteca della tua università. Se cerchi online, ne troverai un PDF.
SUPER! grazie mille. Era proprio quello che cercavo e che non riuscivo a trovare.
Ho trovato molte conferme, tra cui:
1) Il fatto che se la trasformata di Laplace è bilatera e la parte reale della variabile presente nell'esponente è uguale a zero, allora la trasformata di Laplace e la trasformata di Fourier sono la stessa cosa. La variabile indipendente a cui mi riferisco è solitamente chiamata $s$ (in alcuni testi viene chiamata $p, omega$ oppure $xi$);
2) La trasformata di Laplace, a differenza della trasformata di Fourier, non ha un significato fisico, non si può fare un parallelo con ciò che accade nel mondo. Semplicemente, è un operatore che associa ad una funzione un'altra funzione (trasformata). Tale funzione trasformata gode di determinate proprietà e può semplificare la trattazione di alcuni problemi (e.g. problemi di Cauchy).
Avere la certezza che non mi sia sfuggito qualcosa di importante a livello intuitivo mi fa stare meglio
Grazie ancora
Ho trovato molte conferme, tra cui:
1) Il fatto che se la trasformata di Laplace è bilatera e la parte reale della variabile presente nell'esponente è uguale a zero, allora la trasformata di Laplace e la trasformata di Fourier sono la stessa cosa. La variabile indipendente a cui mi riferisco è solitamente chiamata $s$ (in alcuni testi viene chiamata $p, omega$ oppure $xi$);
2) La trasformata di Laplace, a differenza della trasformata di Fourier, non ha un significato fisico, non si può fare un parallelo con ciò che accade nel mondo. Semplicemente, è un operatore che associa ad una funzione un'altra funzione (trasformata). Tale funzione trasformata gode di determinate proprietà e può semplificare la trattazione di alcuni problemi (e.g. problemi di Cauchy).
Avere la certezza che non mi sia sfuggito qualcosa di importante a livello intuitivo mi fa stare meglio
Grazie ancora
Prego, mi fa molto piacere. Anche io ho imparato qualcosa da questa domanda, non avevo mai riflettuto sul punto 2).
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