Topologia della convergenza uniforme sui compatti
Salve.
In contesti di probabilità [nota]Detto $\mathcal{C}$ lo spazio delle funzioni continue da $[0,T]$, con $T>0$, a valori in $\mathbb R^m$ e $\mathcal{M}$ la $\sigma$-algebra di borel associata alla topologia della convergenza uniforme sui compatti, dovevo provare che una certa successione di leggi di processi convergesse alla misura di Wiener $\mathbb P^W$.[/nota] mi sono trovato di fronte alla nozione di " topologia della convergenza uniforme sui compatti " riferito allo spazio $\mathcal{C}$ delle funzioni continue da $[0,T]$, con $T>0$, a valori in $\mathbb R^m$.
Da quel che ho capito, si tratta della topologia indotta da una particolare distanza :
\[
d(f,g)=\sum_{n\in \mathbb N}2^{-n}\frac{||f-g||_{\infty,C_n}}{||f-g||_{\infty,C_n}+1}
\]
dove $C_n$ è la palla centra in $0$ e di raggio $n\in \mathbb N$.
La domanda che mi ponevo è : come si caratterizza la convergenza di una successione di funzioni in $\mathcal{C}$? Quali sono gli aperti di tale topologia?
Sono bene accetti link, hint e qualsivoglia risposte.
Grazie in anticipo.
P.S. : Ops ho sbagliato sezione, debbo toglierlo io?
In contesti di probabilità [nota]Detto $\mathcal{C}$ lo spazio delle funzioni continue da $[0,T]$, con $T>0$, a valori in $\mathbb R^m$ e $\mathcal{M}$ la $\sigma$-algebra di borel associata alla topologia della convergenza uniforme sui compatti, dovevo provare che una certa successione di leggi di processi convergesse alla misura di Wiener $\mathbb P^W$.[/nota] mi sono trovato di fronte alla nozione di " topologia della convergenza uniforme sui compatti " riferito allo spazio $\mathcal{C}$ delle funzioni continue da $[0,T]$, con $T>0$, a valori in $\mathbb R^m$.
Da quel che ho capito, si tratta della topologia indotta da una particolare distanza :
\[
d(f,g)=\sum_{n\in \mathbb N}2^{-n}\frac{||f-g||_{\infty,C_n}}{||f-g||_{\infty,C_n}+1}
\]
dove $C_n$ è la palla centra in $0$ e di raggio $n\in \mathbb N$.
La domanda che mi ponevo è : come si caratterizza la convergenza di una successione di funzioni in $\mathcal{C}$? Quali sono gli aperti di tale topologia?
Sono bene accetti link, hint e qualsivoglia risposte.
Grazie in anticipo.
P.S. : Ops ho sbagliato sezione, debbo toglierlo io?
Risposte
Su \(\mathbb R^m\), e credo anche su \(\mathbb C\) e \(\mathbb C^m\), è la topologia compatta-aperta: in particolare, un sottoinsieme \(U\subseteq \mathscr C=C^0([0,T],\mathbb R^m)\) è aperto nella topologia indotta da \(d\) se e solo se per ogni \(f \in U\) esiste un compatto \(K \subseteq [0,T]\) e un reale \(\delta > 0\) tali che
\[ U \supseteq \{g\in\mathscr C\mid |gz-fz| < \delta \, \forall z\in K\}.\] La topologia compatta-aperta è ora quella che ha per prebase la famiglia di insiemi \(\mathfrak S(K,U)=\{f \in\mathscr C\mid f(K)\subseteq U\}\) al variare di U aperto e K compatto.
\[ U \supseteq \{g\in\mathscr C\mid |gz-fz| < \delta \, \forall z\in K\}.\] La topologia compatta-aperta è ora quella che ha per prebase la famiglia di insiemi \(\mathfrak S(K,U)=\{f \in\mathscr C\mid f(K)\subseteq U\}\) al variare di U aperto e K compatto.
Gentilissimo.
Quindi una successione $(f_n)_{n\in \N}$ di elementi in $\mathcal{C}$ converge nella topologia della conv uniforme sse esiste $g\in \mathcal{C}$ tale che $f_n\to g$ uniformemente sui compatti $K\subseteq [0,T]$?
Quindi una successione $(f_n)_{n\in \N}$ di elementi in $\mathcal{C}$ converge nella topologia della conv uniforme sse esiste $g\in \mathcal{C}$ tale che $f_n\to g$ uniformemente sui compatti $K\subseteq [0,T]$?
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