Teoria delle distribuzioni
Teoria delle distribuzioni
Dal capitolo introduttivo alla Teoria delle Distribuzioni , leggo dal testo : Metodi di Analisi Matematica per l’Ingegneria del prof. Marco Bramanti :
Consideriamo l’equazione di Poisson per il potenziale newtoniano :
$\nabla^2$ u = f
Dove la funzione u ( incognita ) rappresenta il potenziale ( elettrostatico o gravitazionale ) et f ha il significato di densità ( di carica o di massa ).
Dal punto di vista matematico classico , per un’equazione di questo tipo può sembrare naturale cercare una soluzione u $in$C^2 , richiedendo quindi f $in $C^0 .
In realtà fin dagli inizi del 20° secolo è noto che esistono funzioni f continue per cui questa equazione non ha soluzioni C^2.
Per ottenere la risolubilità in senso classico dell’equazione , il termine noto deve essere “ un po’ più che continuo “(*) , e sotto le ipotesi opportune la soluzione u che si trova sarà “ un po’ più che C^2”.
(*) Precisamente il termine noto f deve essere holderiano , ossia soddisfare una condizione di continuità del tipo :
|f(x_1)-f(x_2) |<= c |x_1-x_2|^alpha per qualche alpha $in$ (0,1].
Sotto queste ipotesi l’equazione ha soluzioni classiche non solo C ^2 , ma con derivate seconde a loro volta holderiane.
A questo punto mi chiedo e vi chiedo : perché solo se f è holderiana l’equazione ha soluzioni “ classiche “ ?
Dal capitolo introduttivo alla Teoria delle Distribuzioni , leggo dal testo : Metodi di Analisi Matematica per l’Ingegneria del prof. Marco Bramanti :
Consideriamo l’equazione di Poisson per il potenziale newtoniano :
$\nabla^2$ u = f
Dove la funzione u ( incognita ) rappresenta il potenziale ( elettrostatico o gravitazionale ) et f ha il significato di densità ( di carica o di massa ).
Dal punto di vista matematico classico , per un’equazione di questo tipo può sembrare naturale cercare una soluzione u $in$C^2 , richiedendo quindi f $in $C^0 .
In realtà fin dagli inizi del 20° secolo è noto che esistono funzioni f continue per cui questa equazione non ha soluzioni C^2.
Per ottenere la risolubilità in senso classico dell’equazione , il termine noto deve essere “ un po’ più che continuo “(*) , e sotto le ipotesi opportune la soluzione u che si trova sarà “ un po’ più che C^2”.
(*) Precisamente il termine noto f deve essere holderiano , ossia soddisfare una condizione di continuità del tipo :
|f(x_1)-f(x_2) |<= c |x_1-x_2|^alpha per qualche alpha $in$ (0,1].
Sotto queste ipotesi l’equazione ha soluzioni classiche non solo C ^2 , ma con derivate seconde a loro volta holderiane.
A questo punto mi chiedo e vi chiedo : perché solo se f è holderiana l’equazione ha soluzioni “ classiche “ ?
Risposte
Non mi torna tantissimo questa cosa uhhmmm...
Ciao Camillo,
non mi è chiaro che tipo di risposta vuoi, dato che il quadro che espone Bramanti mi pare dica tutto.
Vuoi un controesempio esplicito di una funzione continua per cui il problema di Poisson non ha soluzioni classiche?
Vuoi sapere come si dimostra che se $f$ è hoelderiana allora il problema ammette una soluzione con derivata seconda hoelderiana? Oppure vuoi la "filosofia" dietro questi risultati ? (cosa quest'ultima si cui non saprei darti risposta...).
EDIT
Che poi non è vero che:
<>
Ovviamente ci sono funzioni continue non hoelderiane per cui l'equazione ha soluzioni classiche -solo che non tutte hanno questa proprietà (se la dimensione è maggiore o eguale a due).
non mi è chiaro che tipo di risposta vuoi, dato che il quadro che espone Bramanti mi pare dica tutto.
Vuoi un controesempio esplicito di una funzione continua per cui il problema di Poisson non ha soluzioni classiche?
Vuoi sapere come si dimostra che se $f$ è hoelderiana allora il problema ammette una soluzione con derivata seconda hoelderiana? Oppure vuoi la "filosofia" dietro questi risultati ? (cosa quest'ultima si cui non saprei darti risposta...).
EDIT
Che poi non è vero che:
<
Ovviamente ci sono funzioni continue non hoelderiane per cui l'equazione ha soluzioni classiche -solo che non tutte hanno questa proprietà (se la dimensione è maggiore o eguale a due).
È la teoria classica della regolarità ellittica (lavori di Hopf, Stampacchia, Morrey, De Giorgi e compagnia cantante).
Come dice giustamente Bramanti, se $f$ è continuo ma non hölderiana la soluzione (che pure esiste, ma in senso debole) può non essere classica, cioè $C^2$; ma appena $f$ è hölderiana, la $u$ è $C^(2,alpha)$.
Dovrebbero esserci controesempi classici al riguardo, ma al momento non me ne sovvengono.
Come dice giustamente Bramanti, se $f$ è continuo ma non hölderiana la soluzione (che pure esiste, ma in senso debole) può non essere classica, cioè $C^2$; ma appena $f$ è hölderiana, la $u$ è $C^(2,alpha)$.
Dovrebbero esserci controesempi classici al riguardo, ma al momento non me ne sovvengono.
L'idea del controesempio - mettiamoci in $\mathbb{R}^2$ - dovrebbe essere quella di costruire una funzione $u(x,y)$,
di classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)\cap\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)})$, ma non $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che però $Delta u$ ($=:f(x,y)$) sia continua su $\mathbb{R}^2$ perché le singolarità delle derivate seconde in $x$ e in $y$ si semplificano tra loro.
Mi pare che andasse bene $u(x,y):= (x^2-y^2)\sqrt{-\ln(x^2+y^2)}$ (per $(x,y)$ vicino a $(0,0)$ poi eventualmente estesa a tutto $\mathbb{R}^2$ e comunque messa zero in $(0,0)$).
di classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)\cap\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)})$, ma non $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che però $Delta u$ ($=:f(x,y)$) sia continua su $\mathbb{R}^2$ perché le singolarità delle derivate seconde in $x$ e in $y$ si semplificano tra loro.
Mi pare che andasse bene $u(x,y):= (x^2-y^2)\sqrt{-\ln(x^2+y^2)}$ (per $(x,y)$ vicino a $(0,0)$ poi eventualmente estesa a tutto $\mathbb{R}^2$ e comunque messa zero in $(0,0)$).
"ViciousGoblin":
L'idea del controesempio - mettiamoci in $\mathbb{R}^2$ - dovrebbe essere quella di costruire una funzione $u(x,y)$,
di classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)\cap\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)})$, ma non $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che però $Delta u$ ($=:f(x,y)$) sia continua su $\mathbb{R}^2$ perché le singolarità delle derivate seconde in $x$ e in $y$ si semplificano tra loro.
Mi pare che andasse bene $u(x,y):= (x^2-y^2)\sqrt{-\ln(x^2+y^2)}$ (per $(x,y)$ vicino a $(0,0)$ poi eventualmente estesa a tutto $\mathbb{R}^2$ e comunque messa zero in $(0,0)$).
E comunque non è finita qui. Bisogna dimostrare che, se $u$ è come sopra e $f(x,y)=\Delta u(x,y)$ (come detto $f$ è continua), non può esistere nessuna $v$ di classe $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che $\Delta v=f$. Se questo fosse possibile, allora $w:=v-u$ sarebbe armonica in $\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)}$ e continua in $\mathbb{R}^2$. Ne seguirebbe $w$ armonica in $\mathbb{R}^2$ (in due variabili si può usare la teoria delle funzioni olomorfe) e quindi $w$ sarebbe $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ da cui l'assurdo $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$.
"ViciousGoblin":
L'idea del controesempio - mettiamoci in $\mathbb{R}^2$ - dovrebbe essere quella di costruire una funzione $u(x,y)$,
di classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)\cap\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)})$, ma non $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che però $Delta u$ ($=:f(x,y)$) sia continua su $\mathbb{R}^2$ perché le singolarità delle derivate seconde in $x$ e in $y$ si semplificano tra loro.
Mi pare che andasse bene $u(x,y):= (x^2-y^2)\sqrt{-\ln(x^2+y^2)}$ (per $(x,y)$ vicino a $(0,0)$ poi eventualmente estesa a tutto $\mathbb{R}^2$ e comunque messa zero in $(0,0)$).
Mi pare proprio che questo esempio vada bene. Non si poteva sperare in una risposta migliore, un esempio concreto è sempre il massimo. Ho fatto qualche conto con Mathematica. Sia
\[
u(x,y):= (x^2-y^2)\sqrt{-\ln(x^2+y^2)}.\]
Il suo Laplaciano \(\Delta u\), che per definizione è uguale a \((\partial_x^2+\partial_y^2)u\) è
\[\Delta u=\frac{(x^2-y^2) (-1+4 \log(x^2+y^2))}{(x^2+y^2) (-\log(x^2+y^2))^{3/2}}\]
mentre
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=-\frac{x y (x^2-y^2) (1+2 \log(x^2+y^2))}{(x^2+y^2)^2 (-\log(x^2+y^2))^{3/2}}. \]
Quest'ultima funzione non ammette limite per \((x, y)\to (0,0)\), infatti ad esempio è identicamente nulla per \(x=0\) mentre tende a un limite non nullo per \(y=2 x\). Quindi \(u\notin C^2(D)\) per ogni aperto \(D\) che contiene l'origine. Invece il Laplaciano \(\Delta u\) tende a zero per \((x, y)\to (0,0)\).
CONCLUSIONE. Sia \[v(x, y):=\frac{(x^2-y^2) (-1+4 \log(x^2+y^2))}{(x^2+y^2) (-\log(x^2+y^2))^{3/2}}\phi(x, y),\]
dove \(\phi\) è una funzione liscia a supporto compatto che vale \(1\) nel disco \(D_{1/2}\) di raggio \(1/2\). L'equazione
\[
\begin{cases}
\Delta u = v, & \text{ in }D_1\\
u=0, & \text{ su }\partial D_1
\end{cases}\]
ha come unica soluzione la funzione \(u=u(x, y)\) data sopra. Infatti, quella è una soluzione e se ce ne fosse un'altra \(\tilde u\) allora
\[
\int_{D_1} \lvert \nabla (u-\tilde u)\rvert^2 =-\int_{D_1} \Delta(u-\tilde u)(u-\tilde u)=0, \]
e quindi \(u-\tilde u\) dovrebbe essere costante su \(D_1\), e siccome sul bordo \(u=\tilde u =0\), necessariamente \(u=\tilde u\). Conclusione: il dato \(v(x,y)\phi(x, y)\), pur essendo di classe \(C^2\), ha prodotto una soluzione che non è di classe \(C^2\).
Grazie a tutti gli intervenuti per i vostri contributi ! Adesso approfondirò i vostri input . Già prevedo da parte mia altre domande !
@Dissonance
Grazie per i calcoli
.
Credo però che questo passaggio vada esplicitato meglio:
Mi pare che tu stia dando per scontato che $u$ è "soluzione debole" cosa che non si deduce dal solo fatto $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2\setminus{0})$ e $\Delta u=f$ in $\mathbb{R}^2\setminus{0}$.
Niente di male.
Si può togliere a $D_1$ una pallina $B(0,\epsilon)$ e scrivere l'eguaglianza sopra in $D_{1,\epsilon}:=D_1\setminus B(0,\epsilon)$. Comparirà un termine di bordo:
$\int_{S_\epsilon}(u-\bar u)\nabla(u-\bar u)\cdot \nu d\sigma$
che però tende a zero se $\epsilon\to 0$ DATO CHE $u$ è $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$ (e così pure $\bar u$).
Poi ci sarebbe da dire che non esiste nessuna $v$ soluzione classica indipendentemente dal suo valore al bordo. Per questo, ammesso che $v$ sia una soluzione, mi pare necessario tirare in ballo la funzione armonica $h$ che sul bordo di $D_1$ vale $u-v$ e ragionare come sopra per $\bar u:=v+h$. Per trovare l'assurdo serve sapere che questa $h$ è $\mathcal{C}^\2$ nella palla.
Forse tu hai un'idea migliore.
Grazie per i calcoli
.Credo però che questo passaggio vada esplicitato meglio:
"dissonance":
Infatti, quella è una soluzione e se ce ne fosse un'altra \(\tilde u\) allora
\[
\int_{D_1} \lvert \nabla (u-\tilde u)\rvert^2 =-\int_{D_1} \Delta(u-\tilde u)(u-\tilde u)=0, \]
e quindi \(u-\tilde u\) dovrebbe essere costante su \(D_1\), e siccome sul bordo \(u=\tilde u =0\), necessariamente \(u=\tilde u\). Conclusione: il dato \(v(x,y)\phi(x, y)\), pur essendo di classe \(C^2\), ha prodotto una soluzione che non è di classe \(C^2\).
Mi pare che tu stia dando per scontato che $u$ è "soluzione debole" cosa che non si deduce dal solo fatto $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2\setminus{0})$ e $\Delta u=f$ in $\mathbb{R}^2\setminus{0}$.
Niente di male.
Si può togliere a $D_1$ una pallina $B(0,\epsilon)$ e scrivere l'eguaglianza sopra in $D_{1,\epsilon}:=D_1\setminus B(0,\epsilon)$. Comparirà un termine di bordo:
$\int_{S_\epsilon}(u-\bar u)\nabla(u-\bar u)\cdot \nu d\sigma$
che però tende a zero se $\epsilon\to 0$ DATO CHE $u$ è $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$ (e così pure $\bar u$).
Poi ci sarebbe da dire che non esiste nessuna $v$ soluzione classica indipendentemente dal suo valore al bordo. Per questo, ammesso che $v$ sia una soluzione, mi pare necessario tirare in ballo la funzione armonica $h$ che sul bordo di $D_1$ vale $u-v$ e ragionare come sopra per $\bar u:=v+h$. Per trovare l'assurdo serve sapere che questa $h$ è $\mathcal{C}^\2$ nella palla.
Forse tu hai un'idea migliore.
Sono d'accordo che c'è qualche falla nel mio argomento precedente. C'è anche da dire che io considero \(v(x, y)=\phi(x, y)\Delta u(x, y)\), ma dopo mi dimentico clamorosamente di \(\phi\) e dichiaro che \(\Delta u = v\), cosa che è vera solo nel disco \(D_{1/2}\) e non in \(D_1\). Non è un problema, ma avrei dovuto fare una piccola costruzione in più.
E poi c'è la questione della soluzione debole che dice ViciousGoblin, su cui ovviamente sono d'accordissimo con il suo rappezzo (patch).
Infine:
Caro VG confesso che non ti seguo. Non basta fare quel discorso con l'integrale dell'energia? Serve ancora più roba per l'unicità?
NOTA BENE: Naturalmente, il succo di tutta questa faccenda è nell'esempio concreto, quello tirato fuori magicamente da ViciousGoblin. Per quello ho voluto far fare i conti a Mathematica: sono proprio quei conti che contengono la spiegazione di questo fenomeno di regolarità. Tutto il resto sono fastidiosi ma necessari tecnicismi.
E poi c'è la questione della soluzione debole che dice ViciousGoblin, su cui ovviamente sono d'accordissimo con il suo rappezzo (patch).
Infine:
Poi ci sarebbe da dire che non esiste nessuna v soluzione classica indipendentemente dal suo valore al bordo.
Caro VG confesso che non ti seguo. Non basta fare quel discorso con l'integrale dell'energia? Serve ancora più roba per l'unicità?
NOTA BENE: Naturalmente, il succo di tutta questa faccenda è nell'esempio concreto, quello tirato fuori magicamente da ViciousGoblin. Per quello ho voluto far fare i conti a Mathematica: sono proprio quei conti che contengono la spiegazione di questo fenomeno di regolarità. Tutto il resto sono fastidiosi ma necessari tecnicismi.
@Dissonance.
Infatti non mi pare una questione di unicità.
Ti dico come ho capito il tuo argomento. Tu usi che (1) $u$ è soluzione debole; (2) ogni $v$ soluzione classica è soluzione debole (3) due soluzioni deboli con lo stesso dato al borso devono per forza coincidere. Dato che $u$ non è $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ non ci sono soluzioni classiche con lo stesso dato al bordo di $u$.
A onor del vero non mi pare che tu usi mai l'espressione "soluzione debole" ma le tecniche mi sembrano quelle.
Però se voglio provare che $\Delta v=f$ non ha soluzioni classiche (fornendo un controesempio per supportare l'affermazione del Bramanti) devo far vedere che non esiste nessuna $v\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che $\Delta v=f$. Nell'altro post avevo abbozzato una dimostrazione basata sul fatto che una funzione armonica su $\mathbb{R}^2\setminus{0}$ che sia limitata vicino a $0$ è automaticamente prolungabile a una armonica su tutto $\mathbb{R}^2$. Avevo scelto questa strada perché, dato che la questione riguarda le soluzioni classiche volevo evitare la nozione di soluzione debole, se non strettamente necessaria.
Leggendo poi la tua dimostrazione, questa mi è sembrata più semplice della mia. C'è anche lì il problema di una soluzione (debole) in $\mathbb{R}^2\setminus{0}$, ma limitata vicino a zero che allora è una soluzione (debole) in $\mathbb{R}^2$, ma per dimostrare questo basta togliere la pallina e farne tendere a zero il raggio.
Rimane però il problema che in questo modo si esclude l'esistenza di soluzioni che hanno lo stesso valore al bordo di $u$ (o c'è qualcosa che non capisco? - in quell'integrale per parti usi il fatto che $\bar u=u$ sul bordo di $D_1$ vero?). Per trovare che non esiste nessuna $v$ non ho trovato di meglio che aggiungere una funzione armonica $h$ in modo che $\bar u:=v+h$ abbia lo stesso valore al bordo di $u$ e rifare il tuo discorso ( mi serve dunque che $h$ esiste ed è $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$.
Non so se mi sono spiegato...
Infatti non mi pare una questione di unicità.
Ti dico come ho capito il tuo argomento. Tu usi che (1) $u$ è soluzione debole; (2) ogni $v$ soluzione classica è soluzione debole (3) due soluzioni deboli con lo stesso dato al borso devono per forza coincidere. Dato che $u$ non è $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ non ci sono soluzioni classiche con lo stesso dato al bordo di $u$.
A onor del vero non mi pare che tu usi mai l'espressione "soluzione debole" ma le tecniche mi sembrano quelle.
Però se voglio provare che $\Delta v=f$ non ha soluzioni classiche (fornendo un controesempio per supportare l'affermazione del Bramanti) devo far vedere che non esiste nessuna $v\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che $\Delta v=f$. Nell'altro post avevo abbozzato una dimostrazione basata sul fatto che una funzione armonica su $\mathbb{R}^2\setminus{0}$ che sia limitata vicino a $0$ è automaticamente prolungabile a una armonica su tutto $\mathbb{R}^2$. Avevo scelto questa strada perché, dato che la questione riguarda le soluzioni classiche volevo evitare la nozione di soluzione debole, se non strettamente necessaria.
Leggendo poi la tua dimostrazione, questa mi è sembrata più semplice della mia. C'è anche lì il problema di una soluzione (debole) in $\mathbb{R}^2\setminus{0}$, ma limitata vicino a zero che allora è una soluzione (debole) in $\mathbb{R}^2$, ma per dimostrare questo basta togliere la pallina e farne tendere a zero il raggio.
Rimane però il problema che in questo modo si esclude l'esistenza di soluzioni che hanno lo stesso valore al bordo di $u$ (o c'è qualcosa che non capisco? - in quell'integrale per parti usi il fatto che $\bar u=u$ sul bordo di $D_1$ vero?). Per trovare che non esiste nessuna $v$ non ho trovato di meglio che aggiungere una funzione armonica $h$ in modo che $\bar u:=v+h$ abbia lo stesso valore al bordo di $u$ e rifare il tuo discorso ( mi serve dunque che $h$ esiste ed è $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$.
Non so se mi sono spiegato...
Certo che ti sei spiegato, e molto bene. In realtà, la vera verità è la seguente. Faccio un riassunto del thread, sperando di aiutare anche altri lettori e lettrici.
RIASSUNTO DEL THREAD. Ciò che mi ha emozionato è l'esempio ViciousGoblin, concreto e tangibile, di una funzione \(u\in C^2(\mathbb R^2\setminus \{0\})\cap C^1(\mathbb R^2)\) che non si può estendere a una funzione \(C^2\), ma tale che \(\Delta u\in C^0(\mathbb R^2)\). Già qui abbiamo una chiarissima idea di cosa può succedere risolvendo l'equazione
\[
\Delta u =f, \]
dove possiamo assegnare un dato \(f\in C^2(\mathbb R^2)\) e non ci aspettiamo soluzioni in \(C^2(\mathbb R^2)\).
Ora chiaramente ci resta promuovere quel "non ci aspettiamo" a un rigoroso "non ci sono soluzioni \(C^2\)". Solo che questo, secondo me, è molto più noioso e mi emoziona molto meno. Infatti mi ero avventurato in un raffazzonato argomento con l'integrale dell'energia, ma in realtà stavo solo cercando di svicolare il più velocemente possibile
RIASSUNTO DEL THREAD. Ciò che mi ha emozionato è l'esempio ViciousGoblin, concreto e tangibile, di una funzione \(u\in C^2(\mathbb R^2\setminus \{0\})\cap C^1(\mathbb R^2)\) che non si può estendere a una funzione \(C^2\), ma tale che \(\Delta u\in C^0(\mathbb R^2)\). Già qui abbiamo una chiarissima idea di cosa può succedere risolvendo l'equazione
\[
\Delta u =f, \]
dove possiamo assegnare un dato \(f\in C^2(\mathbb R^2)\) e non ci aspettiamo soluzioni in \(C^2(\mathbb R^2)\).
Ora chiaramente ci resta promuovere quel "non ci aspettiamo" a un rigoroso "non ci sono soluzioni \(C^2\)". Solo che questo, secondo me, è molto più noioso e mi emoziona molto meno. Infatti mi ero avventurato in un raffazzonato argomento con l'integrale dell'energia, ma in realtà stavo solo cercando di svicolare il più velocemente possibile
Non dovrebbe essere "non sempre ci sono soluzioni $C^2$"?
Ad esempio, se $f(x,y) = 0$ allora...
Ad esempio, se $f(x,y) = 0$ allora...
Voglio dire, per quel particolare dato \(f\) non ci aspettiamo soluzioni \(C^2\).
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