[Teoria della Misura] Convergenze di serie e sua integrabilità.
Ciao 
Avrei bisogno di qualche indicazione su questo esercizio, sul quale al momento so dare una soluzione parziale.
Esercizio. Sia \(d \in \mathbb N\), \(\lambda \in \mathbb R\) e la serie \[\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^\lambda} e^{-k \lvert x \rvert^2} \quad\text{dove } x:= (x_1, \dots{}, x_d) \in \mathbb R^d .\] (1) Studiare, al variare di \(\lambda\), la convergenza quasi ovunque della serie in \(\mathbb R^d\).
(2) Studiare anche le convergenze quasi uniformi e in misura.
(3) Per quali \(\lambda\) la serie è una funzione Lebesgue-integrabile in \(\mathbb R^d\)?
Svolgimenti...
(1) Uso il criterio della radice: infatti, se \(x \ne 0\), allora \[\sqrt[k]{\frac1{k^\lambda}e^{-k \lvert x \rvert ^2}} \to \underbrace{e^{-\lvert x \rvert ^2}}_{< 1} \text{ per } k \to \infty .\] Quindi la serie converge quasi ovunque in \(\mathbb R^d\). Inoltre, in \(x=0\), la serie è \(\sum_{k \ge 0} \frac1{k^\lambda}\), la quale converge se e solo se \(\lambda > 1\). Quindi, se \(\lambda > 1\), la serie converge proprio ovunque.
(2) Ho che \(\frac1{k^\lambda} e^{-k \lvert x \rvert ^2} \le \frac1{k^\lambda}\) e che \(\sum_{k \ge 0} \frac1{k^\lambda}\) convergente se e solo se \(\lambda > 1\). Perché converge totalmente, la serie in esame in questo caso converge (quasi) uniformemente su tutto \(\mathbb R^d\). E per gli altri \(\lambda\)?
Comunque, nel caso che sono riuscito a studiare, la convergenza in misura segue gratis dalla convergenza quasi uniforme.
(3) Per il Teorema di Beppo-Levi (sempre se mi ricordo come si fanno gli integrali...) \[\int_{\mathbb R^d} \left( \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^\lambda} e^{-k \lvert x \rvert^2}\right) \mathrm d x = \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^\lambda} \int_{\mathbb R^d} e^{-k \lvert x \rvert^2} \mathrm d x = \pi^{d/2} \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^{\lambda+\frac12}}\] Quindi l'integrabilità della serie accade se e solo se \(\lambda > \frac12\). [Qui si usa \(\displaystyle\int_{\mathbb R^d} e^{-\lvert x \rvert^2} \mathrm d x = \pi^{d/2}\).]
Avrei bisogno di qualche indicazione su questo esercizio, sul quale al momento so dare una soluzione parziale.
Esercizio. Sia \(d \in \mathbb N\), \(\lambda \in \mathbb R\) e la serie \[\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^\lambda} e^{-k \lvert x \rvert^2} \quad\text{dove } x:= (x_1, \dots{}, x_d) \in \mathbb R^d .\] (1) Studiare, al variare di \(\lambda\), la convergenza quasi ovunque della serie in \(\mathbb R^d\).
(2) Studiare anche le convergenze quasi uniformi e in misura.
(3) Per quali \(\lambda\) la serie è una funzione Lebesgue-integrabile in \(\mathbb R^d\)?
Svolgimenti...
(1) Uso il criterio della radice: infatti, se \(x \ne 0\), allora \[\sqrt[k]{\frac1{k^\lambda}e^{-k \lvert x \rvert ^2}} \to \underbrace{e^{-\lvert x \rvert ^2}}_{< 1} \text{ per } k \to \infty .\] Quindi la serie converge quasi ovunque in \(\mathbb R^d\). Inoltre, in \(x=0\), la serie è \(\sum_{k \ge 0} \frac1{k^\lambda}\), la quale converge se e solo se \(\lambda > 1\). Quindi, se \(\lambda > 1\), la serie converge proprio ovunque.
(2) Ho che \(\frac1{k^\lambda} e^{-k \lvert x \rvert ^2} \le \frac1{k^\lambda}\) e che \(\sum_{k \ge 0} \frac1{k^\lambda}\) convergente se e solo se \(\lambda > 1\). Perché converge totalmente, la serie in esame in questo caso converge (quasi) uniformemente su tutto \(\mathbb R^d\). E per gli altri \(\lambda\)?
Comunque, nel caso che sono riuscito a studiare, la convergenza in misura segue gratis dalla convergenza quasi uniforme.
(3) Per il Teorema di Beppo-Levi (sempre se mi ricordo come si fanno gli integrali...) \[\int_{\mathbb R^d} \left( \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^\lambda} e^{-k \lvert x \rvert^2}\right) \mathrm d x = \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^\lambda} \int_{\mathbb R^d} e^{-k \lvert x \rvert^2} \mathrm d x = \pi^{d/2} \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^{\lambda+\frac12}}\] Quindi l'integrabilità della serie accade se e solo se \(\lambda > \frac12\). [Qui si usa \(\displaystyle\int_{\mathbb R^d} e^{-\lvert x \rvert^2} \mathrm d x = \pi^{d/2}\).]
Risposte
Inizierei innanzitutto a ragionare nel caso $d=1$ e poi eventualmente pensare al caso generale.
Partendo dal punto (1), fissato $x\in R$ proverei a usare il "criterio dell'ordine di infinitesimo" (cioè vedere con che ordine la funzione "dentro" la serie converge a zero al crescere di k (nel caso in cui converga a zero) )
Anticipando qualcosa sul punto (2), cosa succede se ti metti a controllare le convergenze sull'insieme $R\backslash [-\epsilon/2,\epsilon/2]$ ?
Per il punto (3) lo chiedo semplicemente per sapere cosa chiede, cosa significa che una funzione è integrabile?
Partendo dal punto (1), fissato $x\in R$ proverei a usare il "criterio dell'ordine di infinitesimo" (cioè vedere con che ordine la funzione "dentro" la serie converge a zero al crescere di k (nel caso in cui converga a zero) )
Anticipando qualcosa sul punto (2), cosa succede se ti metti a controllare le convergenze sull'insieme $R\backslash [-\epsilon/2,\epsilon/2]$ ?
Per il punto (3) lo chiedo semplicemente per sapere cosa chiede, cosa significa che una funzione è integrabile?
Ciao. Grazie per aver risposto.
"Wilde":Non ho capito dove vuoi arrivare.
Partendo dal punto (1), fissato \(x\in \mathbb R\) proverei a usare il "criterio dell'ordine di infinitesimo" [...]
"Wilde":Come sopra, se \(\lambda > 1\), allora la serie converge uniformemente (perché lo fa totalmente). Altro no so.
Anticipando qualcosa sul punto (2), cosa succede se ti metti a controllare le convergenze sull'insieme $R\backslash [-\epsilon/2,\epsilon/2]$ ?
"Wilde":SI intende integrabilità secondo Lebesgue.
Per il punto (3) lo chiedo semplicemente per sapere cosa chiede, cosa significa che una funzione è integrabile?
Concentriamoci sul punto (1).
Prima ricordo che condizione necessaria per la convergenze di una serie $\sum_k a_k$ è che la succesione $a_k$ sia infinitesima all'infinito, cioè che $\lim_{k\to\infty} a_k= 0$
Ora prova ad applicarlo alla nostra serie.
Faccio un caso io:
Per $\lambda=0$ e fissato $x\in R\backslash{0}$ arbitrario la serie diventa $\sum_k e^{-k|x|}$.
Dato che
\[
\lim_{k\to\infty} \frac{k^2}{e^{k|x|}} = 0
\]
allora ${e^{-k|x|}}_k$ è infinitesima all'infinito di ordine maggiore di 2.
Allora per il criterio dell'ordine di infinitesimo la serie $\sum_k e^{-k|x|}$ è convergente.
Quindi per $\lambda=0$ la serie converge per ogni $x\in R\backslash{0}$ e quindi converge quasi ovunque.
Prova a applicare il metodo con $\lambda$ generico e risolvere il punto (1) dell'esercizio.
Eventualmente se hai difficoltà inizia sostituendo valori particolari a $lambda$ tipo con $\lambda= -1, \ -2,\ 1$.
Prima ricordo che condizione necessaria per la convergenze di una serie $\sum_k a_k$ è che la succesione $a_k$ sia infinitesima all'infinito, cioè che $\lim_{k\to\infty} a_k= 0$
Enuncio il Criterio dell'ordine di infinitesimo:
Sia $\sum_k a_k$ serie a termini positivi.
(i) se esiste $\alpha>1$ tale che ${a_k}_k$ è infinitesima all'infinito di ordine $\ge alpha$ cioè se $\lim_{k\to\infty}k^\alpha a_k = L\ge0$ allora la serie $\sum_k a_k$ converge.
(ii) se esiste $\alpha\le 1$ tale che ${a_k}_k$ è infinitesima all'infinito di ordine $\le alpha$ cioè se $\lim_{k\to\infty}k^\alpha a_k = L \text{ oppure } \infty $ allora la serie $\sum_k a_k$ diverge.
Ora prova ad applicarlo alla nostra serie.
Faccio un caso io:
Per $\lambda=0$ e fissato $x\in R\backslash{0}$ arbitrario la serie diventa $\sum_k e^{-k|x|}$.
Dato che
\[
\lim_{k\to\infty} \frac{k^2}{e^{k|x|}} = 0
\]
allora ${e^{-k|x|}}_k$ è infinitesima all'infinito di ordine maggiore di 2.
Allora per il criterio dell'ordine di infinitesimo la serie $\sum_k e^{-k|x|}$ è convergente.
Quindi per $\lambda=0$ la serie converge per ogni $x\in R\backslash{0}$ e quindi converge quasi ovunque.
Prova a applicare il metodo con $\lambda$ generico e risolvere il punto (1) dell'esercizio.
Eventualmente se hai difficoltà inizia sostituendo valori particolari a $lambda$ tipo con $\lambda= -1, \ -2,\ 1$.
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