Teorema integrale di Cauchy
Ciao!
Ho dimostrato la seguente cosa
siano $A$ un aperto non vuoto di $CC$, $gamma_1,gamma_2:[0,1]->A$ curve $C^1$ linearmente omotope in $A$ relativamente a ${0,1}$ e $f:A->CC$ una funzione olomorfa in $A$
allora
la dimostrazione essenzialmente usa il fatto che $d/(ds)d/(dt)varphi(s,t)=d/(dt)d/(ds)varphi(s,t)$ derivando sotto il segno di integrale per arrivare a
in merito a quanto detto ho delle domande:
1) è così ovvio poter derivare sotto il segno di integrale sotto queste ipotesi?
2) per passare al caso generale si dovrebbe mostrare che se $gamma_1,gamma_2$ sono due curve omotope in un certo insieme $A$ allora in esso sono anche linearmente omotope, avreste qualche hint? nella sostanza basterebbe far vedere, detta $H$ l'omotopia presente, che comunque preso $t in (0,1)$ si ha $[gamma_1(t),gamma_2(t)]subsetH([0,1]^2)subsetA$
Ho dimostrato la seguente cosa
siano $A$ un aperto non vuoto di $CC$, $gamma_1,gamma_2:[0,1]->A$ curve $C^1$ linearmente omotope in $A$ relativamente a ${0,1}$ e $f:A->CC$ una funzione olomorfa in $A$
allora
$int_(gamma_1)f(z)dz=int_(gamma_2)f(z)dz$
la dimostrazione essenzialmente usa il fatto che $d/(ds)d/(dt)varphi(s,t)=d/(dt)d/(ds)varphi(s,t)$ derivando sotto il segno di integrale per arrivare a
$d/(ds)int_(0)^(1)f(varphi(s,t))d/(dt)varphi(s,t)dt=int_(0)^(1)d/(dt)[f(varphi(s,t))d/(ds)varphi(s,t)]dt$
in merito a quanto detto ho delle domande:
1) è così ovvio poter derivare sotto il segno di integrale sotto queste ipotesi?
2) per passare al caso generale si dovrebbe mostrare che se $gamma_1,gamma_2$ sono due curve omotope in un certo insieme $A$ allora in esso sono anche linearmente omotope, avreste qualche hint? nella sostanza basterebbe far vedere, detta $H$ l'omotopia presente, che comunque preso $t in (0,1)$ si ha $[gamma_1(t),gamma_2(t)]subsetH([0,1]^2)subsetA$
Risposte
"anto_zoolander":
2) per passare al caso generale si dovrebbe mostrare che se $gamma_1,gamma_2$ sono due curve omotope in un certo insieme $A$ allora in esso sono anche linearmente omotope, avreste qualche hint? nella sostanza basterebbe far vedere, detta $H$ l'omotopia presente, che comunque preso $t in (0,1)$ si ha $[gamma_1(t),gamma_2(t)]subsetH([0,1]^2)subsetA$
Potrebbe essere vero se si considera un sottospazio \(A\) convesso di \(\mathbb{C}\), ma dubito sia vero in generale. Insomma, i segmenti che congiungono i punti delle due curve potrebbero non essere inclusi in \(A\).
@vict
si hai ragione ho preso un colpo in testa; probabilmente ci sarà qualche proprietà di omotonia lineare a tratti ma sicuramente non lineare e basta.
@peppe
stupendo
su quel sito non trovo mai quello che cerco!
si hai ragione ho preso un colpo in testa; probabilmente ci sarà qualche proprietà di omotonia lineare a tratti ma sicuramente non lineare e basta.
@peppe
stupendo
su quel sito non trovo mai quello che cerco!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo