Teorema di Riesz Kolmogorov

[maybe1]

il teorema di Riesz Kolmogorov dice che
Sia $ U sube L ^1(mathbb(R) ) $
U è totalmente limitato se e solo se
1) E M> 0 : \( \sup_{u\in U}\int_{\mathbb{R} } \mid u\mid \, dx \) \( 2)\lim_{\alpha \rightarrow +\infty } \int_{\mid x\mid> \alpha } \mid u\mid \, dx \) =0 uniformemente su U ossia
\( \forall \varepsilon > 0\exists \alpha _\varepsilon>0 : \forall \alpha >\alpha _\varepsilon ,\forall u\in U \) si ha che \( \int_{|x|>\alpha } |u|\, dx <\varepsilon \)
\( 3) \lim_{h\rightarrow 0} \int_{\mathbb{R} } |u(x+h)-u(x)|\, dx =0 \) uniformemente su U
nel dimostrare il punto 2 essendo U totalmente limitato fisso \( \varepsilon >0 \) e in corrispondenza di \( \varepsilon/2 \) \( \exists u_1,...,u_k \in L^1(\mathbb{R} ) \) tali che \( U\subseteq \cup _{i=1,...k}B(u_i,\varepsilon /2) \)
perchè \( \forall i=1,...,k \) posso scegliere \( \alpha ^i_{\varepsilon /2}>0 \) tale che \( \forall \alpha >\alpha ^i_{\varepsilon /2} \) si ha che \( \int_{|x|>\alpha } |u_i|\, dx <\varepsilon /2 \) ????
Molto probabilmente la mia è una domanda banale ma purtroppo in analisi ho molte lacune...
Grazie a chiunque vorrà darmi una mano

[Bremen000]

Per ogni $n \in \mathbb{N}$ sia \( I_n := \{ x \in \mathbb{R} : |x|>n \} \).

Considera la successione di numeri reali \( a^i_{n} = \int_{\mathbb{R}} |u_i| \chi_{I_n}dx \).
La successione è monotona non crescente e per convergenza dominata (qui usi che \( u_i \in L^1(\mathbb{R}) \) ) tende a $0$ quando $n \to +\infty$.

Allora esiste un \( M^i_{\epsilon/2} \in \mathbb{N} \) t.c.

\[ n >M^i_{\epsilon/2} \Rightarrow a^i_{n} = \int_{\mathbb{R}} |u_i| \chi_{I_n}dx < \epsilon/2 \]

ora ti basta porre \( \alpha^i_{\epsilon/2} = M^i_{\epsilon/2} \) e hai che per ogni \( \alpha > \alpha^i_{\epsilon/2} \) sicuramente

\[ \int_{|x|> \alpha } |u_i|dx < \epsilon/2 \].