Teorema di Fubini Tonelli
Buonasera, nello svolgimento di un esercizio viene applicato il teorema di Fubini Tonelli ma non riesco a dimostrare che può essere applicato. L'esercizio è il seguente:
$ u(s )\inL^2(0,1),\ v(t)\inL^2(0,1),\ K(t,s)\inL^2((0,1)\xx(0,1)) $
$\int_0^1(\int_0^1K(t,s)u(s)ds)v(t)dt=\int_{(0,1)\xx(0,1)}K(t,s)u(s)v(t)dsdt \ $per il teorema di Fubini Tonelli.
Per dimostrare che il teorema è applicabile devo dimostrare che $ f(s,t)\inL^2((0,1)\xx(0,1)) $ dove $ f(s,t)=K(t,s)u(s)v(t) $ . Io utilizzerei la disuguaglianza di Holder ma non saprei come fare perché applicando holder all'integrale interno otterrei che $ K(t,s)u(s)\inL^1((0,1)\xx(0,1)) $ ma a questo punto avrei una funzione in $ L^1((0,1)\xx(0,1)) $ (ovvero $ K(t,s)u(s)$ ) e una in $ L^2(0,1) $ (ovvero $ v(t)$ ) ed essendo $ 1 $ e $ 2 $ non coniugati non potrei più applicare Holder.
$ u(s )\inL^2(0,1),\ v(t)\inL^2(0,1),\ K(t,s)\inL^2((0,1)\xx(0,1)) $
$\int_0^1(\int_0^1K(t,s)u(s)ds)v(t)dt=\int_{(0,1)\xx(0,1)}K(t,s)u(s)v(t)dsdt \ $per il teorema di Fubini Tonelli.
Per dimostrare che il teorema è applicabile devo dimostrare che $ f(s,t)\inL^2((0,1)\xx(0,1)) $ dove $ f(s,t)=K(t,s)u(s)v(t) $ . Io utilizzerei la disuguaglianza di Holder ma non saprei come fare perché applicando holder all'integrale interno otterrei che $ K(t,s)u(s)\inL^1((0,1)\xx(0,1)) $ ma a questo punto avrei una funzione in $ L^1((0,1)\xx(0,1)) $ (ovvero $ K(t,s)u(s)$ ) e una in $ L^2(0,1) $ (ovvero $ v(t)$ ) ed essendo $ 1 $ e $ 2 $ non coniugati non potrei più applicare Holder.
Risposte
Questa è una cosa abbastanza standard, se non erro... Potresti provare per approssimazione, visto che ogni nucleo $K in L^2(Q)$ (con $Q=(0,1) xx (0,1)$) è il limite di una successione di nuclei $K_n in C_c(Q)$.
Vedi che ne esce.
Vedi che ne esce.
Sinceramente per approssimazione non saprei proprio come fare. Io pensavo si potesse fare con Holder applicandolo alle giuste funzioni ma non riesco a capire come fare...
Ma sto smostrando o per Fubini Tonelli basta che la funzione sia $L^1$?
Si ma il professore ha richiesto di mostrare l'appartenenza a $L^2$ per poter applicare Fubini Tonelli.
Per mostrare $ f(t,s)\inL^1((0,1)\xx(0,1)) $ io farei così:
$ \int_{(0,1)\xx(0,1)}f(t,s)dsdt = \int_0^1[\int_0^1K(t,s)u(s)v(t)ds]dt \leq \int_0^1[(\int_0^1K^2(t,s)ds)^\frac{1}{2}(\int_0^1u^2(s)v^2(t)ds)^\frac{1}{2}]dt \leq [\int_0^1(\int_0^1K^2(t,s)ds)dt]^\frac{1}{2} [\int_0^1(\int_0^1u^2(s)v^2(t)ds)dt]^\frac{1}{2} = \normK_{L^2}(\int_0^1v^2(t)\normu_{L^2}^2dt)^\frac{1}{2}=\normK_{L^2}\normu_{L^2}\normv_{L^2} < \infty $
e se questo è corretto posso applicare Fubini Tonelli, ma per l'appartenenza a $L^2$ richiesta dal professore non saprei come fare.
Per mostrare $ f(t,s)\inL^1((0,1)\xx(0,1)) $ io farei così:
$ \int_{(0,1)\xx(0,1)}f(t,s)dsdt = \int_0^1[\int_0^1K(t,s)u(s)v(t)ds]dt \leq \int_0^1[(\int_0^1K^2(t,s)ds)^\frac{1}{2}(\int_0^1u^2(s)v^2(t)ds)^\frac{1}{2}]dt \leq [\int_0^1(\int_0^1K^2(t,s)ds)dt]^\frac{1}{2} [\int_0^1(\int_0^1u^2(s)v^2(t)ds)dt]^\frac{1}{2} = \normK_{L^2}(\int_0^1v^2(t)\normu_{L^2}^2dt)^\frac{1}{2}=\normK_{L^2}\normu_{L^2}\normv_{L^2} < \infty $
e se questo è corretto posso applicare Fubini Tonelli, ma per l'appartenenza a $L^2$ richiesta dal professore non saprei come fare.
Ma sei proprio sicuro della numerologia? Secondo me la funzione $(t, s)->K(t, s)u(t)v(s)$ non ha obbligo di essere in $L^2((0,1)^2))$. Prendi per esempio $K(t, s)=|t-s|^{-1+\epsilon/3}, u(t)=|t|^{-1/2+\epsilon/3}, v(s)=|s|^{-1/2+\epsilon/3}$, per un $\epsilon >0$ fissato ma piccolo a volontà.
Tutte queste funzioni sono in $L^2((0,1)^2)$ e rispettivamente $L^2((0,1))$. Ora, il prodotto $f(t, s)=K(t, s)u(t)v(s)$ è in $L^1((0, 1)\times(0, 1))$, come hai giustamente predetto, ma non mi pare sia in $L^2((0, 1)\times (0,1))$. Infatti, per $t$ ed $s$ molto piccoli, $f(t, s)$ è dell'ordine di $(\sqrt{t^2+s^2})^{-2+\epsilon}$. Spero che sia chiaro ció che sto cercando di dire, altrimenti chiedi pure. E non ti fidare troppo dei miei conti, grazie. Buonanotte
Tutte queste funzioni sono in $L^2((0,1)^2)$ e rispettivamente $L^2((0,1))$. Ora, il prodotto $f(t, s)=K(t, s)u(t)v(s)$ è in $L^1((0, 1)\times(0, 1))$, come hai giustamente predetto, ma non mi pare sia in $L^2((0, 1)\times (0,1))$. Infatti, per $t$ ed $s$ molto piccoli, $f(t, s)$ è dell'ordine di $(\sqrt{t^2+s^2})^{-2+\epsilon}$. Spero che sia chiaro ció che sto cercando di dire, altrimenti chiedi pure. E non ti fidare troppo dei miei conti, grazie. Buonanotte
"otta96":
Ma sto smostrando o per Fubini Tonelli basta che la funzione sia $L^1$?
Sì, hai ragione.
Probabilmente il docente ha confuso gli esponenti.
In conclusione $ f(s,t)\inL^1((0,1)\xx(0,1)) $ quindi posso applicare Fubini Tonelli, mentre $ f(s,t)\notinL^2((0,1)\xx(0,1)) $ quindi il professore ha confuso l'esponente nella sua richiesta. Da quel che avete scritto io ho capito così. Grazie a tutti!
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