Teorema di estensione di Hahn-Banach.
Non capisco come mai un funzionale che definisce sia ben definito in una parte della dimostrazione del teorema.
Enunciato:
Sia \(V\) uno spazio vettoriale reale, e \( p : V \to \mathbb{R} \) un funzionale sotto-lineare. Supponiamo il dominio di \(f\), \( D(f) \subset V \) sia un sotto-spazio vettoriale, e \( f: D(f) \to \mathbb{R} \) sia un funzionale lineare.
Se \( f(x) \leq p (x) \) per ogni \( x \in D(f) \) allora esiste un funzionale lineare \( F: V \to \mathbb{R} \) tale che
\[ F \mid_{D(f)} = f \]
e
\[ F(x) \leq p (x) \]
per ogni \( x \in V \).
Dimostrazione:
Parte 1:
Consideriamo \[ P := \{ g : D(g) \to \mathbb{R} \mid D(g) \subset V \text{ sotto sv }, g \text{ lin. }, D(f) \subset D(g) , g \mid_{D(f)}=f \text{ e } g(x) \leq p(x) \text{ in } D(g) \} \]
Definiamo un ordine parziale \( \prec \) su \(P\) nel seguente modo
\[ g \prec h \text{ se } D(g) \subset D(h) \text{ e } h \mid_{D(g)} = g \]
notiamo che \( P \neq \emptyset \) siccome \(f \in P \). Per tutti i sottoinsiemi totalmente ordinati \(T \subset P \) definiamo \( \widehat{g} : D(\widehat{g}) \to \mathbb{R} \) nel seguente modo
\[ D(\widehat{g}) = \bigcup{g \in T} D(g) \]
\[ \widehat{g}(x) = g(x) \text{ se } x \in D(g) \text{ e } g \in T \]
È facile da verificare che \( \widehat{g} \in P \) e che \( g \prec \widehat{g} \) per ogni \(g \in T \). Quindi \( \widehat{g} \) è un maggiorante di \(T\) e per il lemma di Zorn esiste un elemento massimale \(F \in P \).
Io non capisco perché può supporre che esiste un sottoinsieme totalmente ordinato ne ammesso che esista perché il funzionale \( \widehat{g} \) è ben definito. Non possiamo avere \(g_1 \neq g_2 \in T \) tale che \( D(g_1) = D(g_2) \) e in tal caso avremmo un problema nella definizione di \( \widehat{g} \) su \( D(g_1) \).
Enunciato:
Sia \(V\) uno spazio vettoriale reale, e \( p : V \to \mathbb{R} \) un funzionale sotto-lineare. Supponiamo il dominio di \(f\), \( D(f) \subset V \) sia un sotto-spazio vettoriale, e \( f: D(f) \to \mathbb{R} \) sia un funzionale lineare.
Se \( f(x) \leq p (x) \) per ogni \( x \in D(f) \) allora esiste un funzionale lineare \( F: V \to \mathbb{R} \) tale che
\[ F \mid_{D(f)} = f \]
e
\[ F(x) \leq p (x) \]
per ogni \( x \in V \).
Dimostrazione:
Parte 1:
Consideriamo \[ P := \{ g : D(g) \to \mathbb{R} \mid D(g) \subset V \text{ sotto sv }, g \text{ lin. }, D(f) \subset D(g) , g \mid_{D(f)}=f \text{ e } g(x) \leq p(x) \text{ in } D(g) \} \]
Definiamo un ordine parziale \( \prec \) su \(P\) nel seguente modo
\[ g \prec h \text{ se } D(g) \subset D(h) \text{ e } h \mid_{D(g)} = g \]
notiamo che \( P \neq \emptyset \) siccome \(f \in P \). Per tutti i sottoinsiemi totalmente ordinati \(T \subset P \) definiamo \( \widehat{g} : D(\widehat{g}) \to \mathbb{R} \) nel seguente modo
\[ D(\widehat{g}) = \bigcup{g \in T} D(g) \]
\[ \widehat{g}(x) = g(x) \text{ se } x \in D(g) \text{ e } g \in T \]
È facile da verificare che \( \widehat{g} \in P \) e che \( g \prec \widehat{g} \) per ogni \(g \in T \). Quindi \( \widehat{g} \) è un maggiorante di \(T\) e per il lemma di Zorn esiste un elemento massimale \(F \in P \).
Io non capisco perché può supporre che esiste un sottoinsieme totalmente ordinato ne ammesso che esista perché il funzionale \( \widehat{g} \) è ben definito. Non possiamo avere \(g_1 \neq g_2 \in T \) tale che \( D(g_1) = D(g_2) \) e in tal caso avremmo un problema nella definizione di \( \widehat{g} \) su \( D(g_1) \).
Risposte
Il lemma di Zorn dice che se in un poset ogni catena ha un maggiorante, allora esiste un elemento massimale nel poset. Non fa nessuna affermazione su quante catene esistano in P, no?
Appunto. Nel step 2 prende il maggiorante e dimostra che lo è per \( D(F) = V \). Però non capisco come fa a supporre l'esistenza di un insieme totalmente ordinato \(T\).
Non lo fa, infatti, perché non serve. Non esistono poset senza catene.
Perché non esistono insiemi parzialmente ordinati senza sottoinsiemi totalmente ordinati?
Per esempio in virtù della proprietà riflessiva della relazione che definisce la struttura di poset?
OKay sì, quindi i singleton in un poset sono sempre in ordine totale.
Benvenuto nel club "Il lemma di Zorn è uno scam, l'assioma della scelta no"
Perché? 
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