Teorema di Bloch

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Mi chiedevo se qualcuno riuscisse a darmi un idea intuitivo/"geometrica" del perché esiste questo teorema. Cioè perché mai dovrebbe valere questa cosa?

Sia \( f \in \mathcal{H}(\overline{B_1(0)}) \) tale che \(f'(0)=1\) - dove con \( \mathcal{H}(D) \) intendo le funzioni olomorfe in \(D\) e con \(\overline{B_r(c)} \) la palla chiusa di raggio \(r\) centrata in \(c\) - allora esiste \(p \in \mathbb{C} \) tale che
\[ B_{3/2 - \sqrt{2}}(p) \subset f(B_1(0)) \]

Cioè mi sembra così tanto "casuale" che una cosa del genere sia vera...

[dissonance]

Non è casuale. È una versione quantitativa del teorema della funzione inversa. Infatti, fissiamo \(p=f(0)\). Dall’ipotesi che \(f’(0)=1\) sappiamo che esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(w\in B_\delta(p)\), esiste una soluzione \(z\in B_1(0)\) dell’equazione
\[
f(z)=w.\]
(Tale soluzione è anche unica e determina una inversa locale di \(f\), ma non avremo bisogno di questo, ora). In particolare,
\[
B_\delta(p)\subset f(B_1(0)).\]
Ma chi è \(\delta\)? Il teorema della funzione inversa non fornisce nessuna informazione in merito. Potrebbe essere \(\delta=1/2\) oppure \(\delta=10^{-10}\). Invece in questo teorema che hai riportato tu c’è un delta super esplicito.

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Si ma il delta super esplicito che mi da come salta fuori? Cioè dalla dimostrazione che ci ha dato il prof (che se vuoi scrivo) ho capito come salta fuori "algebricamente". Ma mi risulta abbastanza mistico il motivo per cui abbiamo proprio quel \( 3/2 - \sqrt{2} \).

ps: \( 3/2 - \sqrt{2} \) non è ottimale, è un problema ancora aperto trovare il \( \delta \) ottimale.

[dissonance]

Non sapevo di questo problema, è molto interessante. Ho avuto a che fare, nella mia ricerca, con la necessità di determinare un \(\delta\) esplicito, per dei problemi simili a questo.

"3m0o":Si ma il delta super esplicito che mi da come salta fuori? Cioè dalla dimostrazione che ci ha dato il prof (che se vuoi scrivo) ho capito come salta fuori "algebricamente". Ma mi risulta abbastanza mistico il motivo per cui abbiamo proprio quel \( 3/2 - \sqrt{2} \).

ps: \( 3/2 - \sqrt{2} \) non è ottimale, è un problema ancora aperto trovare il \( \delta \) ottimale.

E allora perché ti stupisce? È un problema difficile, non mi sembra strano che ci sia una costante sorprendente.