Teorema di Banach-Tarski
Ci sono parti della dimostrazione del Teorema di Banach-Tarski che non capisco molto bene. Metto in Spoiler ciò che non capisco.
Dato un gruppo \(G\) che agisce su un insieme \(X\). Dato \(A \subseteq X\), diciamo che una mappa \(f:A \to X \) è pw-\(G\) (piecewise-G) se esistono \(A=A_1\sqcup \ldots \sqcup A_n \) ed esistono \(g_1,\ldots g_n \in G \) tale che per ogni \(i\) e per ogni \(x \in A_i \) abbiamo che \(f(x)=g_i x\).
Teorema di Banach-Tarski: Siano \(A,B \subseteq \mathbb{R}^3 \) e \(G= \operatorname{Isom}\left(\mathbb{R}^3 \right) \). Supponiamo che \(A,B\) siano limitati e abbiano interno non vuoto. Allora
\[ A \sim_G B \]
dove \( A \sim_G B \) significa che esiste una biezione (tra \(A\) e \(B\)) che è pw-\(G\).
Il simbolo \( A \prec_G B \) vuol dire che esiste una iniezione tra \(A\) e \(B\) che è pw-\(G\).
Dimostrazione: Wlog, \(B\) è la palla unitaria.
Step 1:
Sia \( \dot{B} = \{ x \in \mathbb{R}^3 : \left \| x \right \| \leq 1, x \neq 0 \} \).
Claim: Per ogni \(A \subseteq \mathbb{R}^3 \) limitato, abbiamo che \( A \prec_G B\).
Per compatezza di \( \overline{A} \) e poiché \( \operatorname{Int}( \dot{B} ) \) è aperto allora esistono \(v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{R}^3\) tale che
\[ \overline{A} \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \]
in particolare
\[ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \]
Per il corollario 51[nota]Corollario 51: Abbiamo che \[ \dot{B} \sim_G \dot{B} \sqcup \left( \dot{B} +\begin{pmatrix}
10\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right) \][/nota] usato \(n-1\) volte abbiamo che
\[ \dot{B} \sim_G \bigsqcup_{i=1}^{n} \left( \dot{B} + iw \right) \]
per \( \left \| w \right \| \geq 2 \).
Per la suriezione banale abbiamo che
\[ \bigsqcup_{i=1}^{n} \left( \dot{B} + iw \right) \twoheadrightarrow \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \]
otteniamo dunque che
\[ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \prec_G \bigsqcup_{i=1}^{n} \left( \dot{B} + iw \right) \sim_G \dot{B} \subseteq B \]
Pertanto \( A \prec_G B \).
Step 2:
Claim: Per ogni \( A \subseteq \mathbb{R}^3 \) con \( \operatorname{Int}(A) \neq \emptyset \) abbiamo \( B \prec_G A \)
Dimostriamo che per ogni \( \epsilon > 0 \), \( B \prec_G \epsilon B \). Allora, prendendo \( \epsilon \) piccolo a piacere, abbiamo un inclusione banale più una traslazione di \( \epsilon B \) in \(A\). Se \( \epsilon \geq 1 \) abbiamo finito usando l'inclusione. Assumiamo \( \epsilon < 1 \). Per la prima parte della dimostrazione abbiamo una iniezione \(pw\)-G \( \phi : \frac{1}{\epsilon} B \hookrightarrow B \). Abbiamo inoltre \( f: B \to \frac{1}{\epsilon} B \), definita da \( f(x) = \frac{1}{\epsilon}x \), e notiamo che \( f^{-1} \circ \phi \circ f \) è un isometria ed è iniettiva e pw-\(G\). Quindi \( B \prec_G \epsilon B \).
Per Cantor-Bernstein \( A \sim_G B \).
Dato un gruppo \(G\) che agisce su un insieme \(X\). Dato \(A \subseteq X\), diciamo che una mappa \(f:A \to X \) è pw-\(G\) (piecewise-G) se esistono \(A=A_1\sqcup \ldots \sqcup A_n \) ed esistono \(g_1,\ldots g_n \in G \) tale che per ogni \(i\) e per ogni \(x \in A_i \) abbiamo che \(f(x)=g_i x\).
Teorema di Banach-Tarski: Siano \(A,B \subseteq \mathbb{R}^3 \) e \(G= \operatorname{Isom}\left(\mathbb{R}^3 \right) \). Supponiamo che \(A,B\) siano limitati e abbiano interno non vuoto. Allora
\[ A \sim_G B \]
dove \( A \sim_G B \) significa che esiste una biezione (tra \(A\) e \(B\)) che è pw-\(G\).
Il simbolo \( A \prec_G B \) vuol dire che esiste una iniezione tra \(A\) e \(B\) che è pw-\(G\).
Dimostrazione: Wlog, \(B\) è la palla unitaria.
Step 1:
Sia \( \dot{B} = \{ x \in \mathbb{R}^3 : \left \| x \right \| \leq 1, x \neq 0 \} \).
Claim: Per ogni \(A \subseteq \mathbb{R}^3 \) limitato, abbiamo che \( A \prec_G B\).
Per compatezza di \( \overline{A} \) e poiché \( \operatorname{Int}( \dot{B} ) \) è aperto allora esistono \(v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{R}^3\) tale che
\[ \overline{A} \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \]
in particolare
\[ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \]
Per il corollario 51[nota]Corollario 51: Abbiamo che \[ \dot{B} \sim_G \dot{B} \sqcup \left( \dot{B} +\begin{pmatrix}
10\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right) \][/nota] usato \(n-1\) volte abbiamo che
\[ \dot{B} \sim_G \bigsqcup_{i=1}^{n} \left( \dot{B} + iw \right) \]
per \( \left \| w \right \| \geq 2 \).
Per la suriezione banale abbiamo che
\[ \bigsqcup_{i=1}^{n} \left( \dot{B} + iw \right) \twoheadrightarrow \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \]
otteniamo dunque che
\[ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} \left( \operatorname{Int}( \dot{B} ) + v_i \right) \prec_G \bigsqcup_{i=1}^{n} \left( \dot{B} + iw \right) \sim_G \dot{B} \subseteq B \]
Pertanto \( A \prec_G B \).
Step 2:
Claim: Per ogni \( A \subseteq \mathbb{R}^3 \) con \( \operatorname{Int}(A) \neq \emptyset \) abbiamo \( B \prec_G A \)
Dimostriamo che per ogni \( \epsilon > 0 \), \( B \prec_G \epsilon B \). Allora, prendendo \( \epsilon \) piccolo a piacere, abbiamo un inclusione banale più una traslazione di \( \epsilon B \) in \(A\). Se \( \epsilon \geq 1 \) abbiamo finito usando l'inclusione. Assumiamo \( \epsilon < 1 \). Per la prima parte della dimostrazione abbiamo una iniezione \(pw\)-G \( \phi : \frac{1}{\epsilon} B \hookrightarrow B \). Abbiamo inoltre \( f: B \to \frac{1}{\epsilon} B \), definita da \( f(x) = \frac{1}{\epsilon}x \), e notiamo che \( f^{-1} \circ \phi \circ f \) è un isometria ed è iniettiva e pw-\(G\). Quindi \( B \prec_G \epsilon B \).
Per Cantor-Bernstein \( A \sim_G B \).
Risposte
Cioè direi di sì, perché in fondo ho un compatto e quindi lo posso ricoprire con finiti aperti, i.e. palle, Però qui tolgo un punto dalle palle e le traslo, non capisco bene perché valga uguale.
Se un centro \(M\) di una palla \(B + v_i \) è in \(A\), prendi una nuova palla \(\dot{B} + v_i'\) che contiene \(M\). \(M\) non è in \(\dot{B} + v_i\) ma sarà in \(\dot{B} + v_i'\).
Non capisco molto bene come passi dalla suriezione alla iniezione che sia pw-\(G\) francamente.
Se per esempio, \(\dot{B} + v_i\) e \(\dot{B} + v_j\) hanno un'intersezione non vuota, rimanda \(\dot{B} + v_i\) in \(\dot{B} + iw\) da una traslazione e il resto di \(\dot{B} + v_j\) in \(\dot{B} + jw\) da un'altra traslazione.
- Se \( \epsilon \geq 1\) non capisco perché l'inclusione sia pw-\(G\).
- Se \( \epsilon < 1 \). Non capisco perché \( f^{-1} \circ \phi \circ f \) è un iniezione pw-\(G\).
Se \( \epsilon \geq 1\), l'identità è un elemento di \(G\).
Se \( \epsilon < 1\), \( f^{-1} \circ \phi \circ f \) è un'iniezione perchè ogni applicazione è un'iniezione, e è un isometria perchè ogni applicazione è une similitudine, e che il rapporto de questa similitudine è \(\epsilon \times 1 \times \frac{1}{\epsilon} = 1\). È pw-\(G\) perchè se \(\frac{1}{\epsilon} B = B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_n \) è una partizione di \(\frac{1}{\epsilon}B\) compatibile con la pw-\(G\)-proprietà di \(\phi\), allora \(B = f^{-1}(B_1) \sqcup \ldots \sqcup f^{-1}(B_n)\) è una partizione di \(B\) compatibile con la pw-\(G\)-proprietà di \(f^{-1} \circ \phi \circ f\).
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