Teorema di Alaoglu
Avrei bisogno una mano per questo esercizio:
Sia \( V \) uno spazio di Banach, e sia
\[ B = \{ \lambda \in V^{\ast} : \left \| \lambda \right \| \leq 1 \} \]
dimostra che \(B\) è weak-\(^{\ast} \) compatto.
Hint: Applica il teorema di Tychonoff su qualche prodotto di spazi compatti.
NB: \(B\) è tipicamente chiamato "la palla unitaria chiusa", quindi magari chiarifica nella tua testa per quale topologia \(B\) è chiuso.
Allora già nel NB ho un po' di difficoltà, immagino che sia chiuso per la weak\(^{\ast}\) topologia, ma non ho ben capito cosa sia questa topologia. Il prof non ce l'ha spiegata.
Leggendo qui https://en.wikipedia.org/wiki/Weak_topology#Weak-*_topology
vedo che la weak\(^{\ast}\) topology su \( V^{\ast} \) è la weak topology indotta dall'immagine di \(T(V) \subseteq V^{\ast \ast} \), dove \(T \) è l'iniezione nel doppio duale. Ma non capisco il senso e nemmeno come faccia \(T(V)\) ad indurre una topologia su \(V^{\ast}\).
Passando oltre al NB, la mia idea è questa
Abbiamo che \( V^{\ast} \) è duale, quindi i lineari continui, denotando con \(V' \) il duale algebrico (quindi solo i lineari, non necessariamente continui), definiamo \(B' = \{ \lambda \in V' : \left \| \lambda \right \| \leq 1 \} \). Voglio prima dimostrare il teorema su \(B' \) e poi dire che poiché
\[ B = B' \cap V^{\ast} \]
regge anche per \(B\) in qualche modo. Intuitivamente passerei da \( \prod_{v \in V} B(r_v) \) e dimostrerei che \( B' \subseteq \prod_{v \in V} B(r_v) \) è chiuso, ora poiché le palle \( B(r_v) = \{ x \in F : \left| x \right| \leq r_v \} \subseteq F \) per qualche \(r_v > 0 \), dove \(F\) è il campo di \(V\), sono compatte, vorrei dire per Tychonoff che \(B'\) è un sottoinsieme compatto. Però non so se sto facendo casini mischiando topologie differenti.
Sia \( V \) uno spazio di Banach, e sia
\[ B = \{ \lambda \in V^{\ast} : \left \| \lambda \right \| \leq 1 \} \]
dimostra che \(B\) è weak-\(^{\ast} \) compatto.
Hint: Applica il teorema di Tychonoff su qualche prodotto di spazi compatti.
NB: \(B\) è tipicamente chiamato "la palla unitaria chiusa", quindi magari chiarifica nella tua testa per quale topologia \(B\) è chiuso.
Allora già nel NB ho un po' di difficoltà, immagino che sia chiuso per la weak\(^{\ast}\) topologia, ma non ho ben capito cosa sia questa topologia. Il prof non ce l'ha spiegata.
Leggendo qui https://en.wikipedia.org/wiki/Weak_topology#Weak-*_topology
vedo che la weak\(^{\ast}\) topology su \( V^{\ast} \) è la weak topology indotta dall'immagine di \(T(V) \subseteq V^{\ast \ast} \), dove \(T \) è l'iniezione nel doppio duale. Ma non capisco il senso e nemmeno come faccia \(T(V)\) ad indurre una topologia su \(V^{\ast}\).
Passando oltre al NB, la mia idea è questa
Abbiamo che \( V^{\ast} \) è duale, quindi i lineari continui, denotando con \(V' \) il duale algebrico (quindi solo i lineari, non necessariamente continui), definiamo \(B' = \{ \lambda \in V' : \left \| \lambda \right \| \leq 1 \} \). Voglio prima dimostrare il teorema su \(B' \) e poi dire che poiché
\[ B = B' \cap V^{\ast} \]
regge anche per \(B\) in qualche modo. Intuitivamente passerei da \( \prod_{v \in V} B(r_v) \) e dimostrerei che \( B' \subseteq \prod_{v \in V} B(r_v) \) è chiuso, ora poiché le palle \( B(r_v) = \{ x \in F : \left| x \right| \leq r_v \} \subseteq F \) per qualche \(r_v > 0 \), dove \(F\) è il campo di \(V\), sono compatte, vorrei dire per Tychonoff che \(B'\) è un sottoinsieme compatto. Però non so se sto facendo casini mischiando topologie differenti.
Risposte
Per il NB: se hai capito come è definita la topologia debole $\sigma(X,X^\ast)$ su uno spazio $X$, la topologia debole-$\ast$ su $X^\ast$ è $\sigma(X^\ast,X)$ invece di $\sigma(X^\ast,X^(\ast\ast))$.
Per l'altra parte lascia stare il duale algebrico, prova a dimostrare che un insieme che è un prodotto di intervalli è compatto e include la palla unitaria chiusa.
EDIT: In realtà non mi ricordo benissimo come si dimostra non è deto che il prodotto debba essere di intervalli ma comunque di qualcosa di compatto sì.
Per l'altra parte lascia stare il duale algebrico, prova a dimostrare che un insieme che è un prodotto di intervalli è compatto e include la palla unitaria chiusa.
EDIT: In realtà non mi ricordo benissimo come si dimostra non è deto che il prodotto debba essere di intervalli ma comunque di qualcosa di compatto sì.
La palla è presa rispetto alla norma, ma la topologia per cui tale palla è compatta non è quella indotta dalla norma. Questo è il senso del NB.
Quanto alla dimostrazione dell'OP, quella definizione di \(B'\) non ha senso. Se un funzionale lineare \(\lambda\) non è continuo allora \(\lVert \lambda\rVert=\infty\).
Quanto alla dimostrazione dell'OP, quella definizione di \(B'\) non ha senso. Se un funzionale lineare \(\lambda\) non è continuo allora \(\lVert \lambda\rVert=\infty\).
"otta96":
EDIT: In realtà non mi ricordo benissimo come si dimostra non è deto che il prodotto debba essere di intervalli ma comunque di qualcosa di compatto sì.
Dipende se lo spazio è reale o complesso. Se è complesso mi sa che ci vogliono dei dischi. Ma è veramente un dettaglio.
@3m0o: l'esercizio è facile. Se sei proprio bloccato, consulta il libro di Eidelman, Milman e Tsolomitis.
"dissonance":
La palla è presa rispetto alla norma, ma la topologia per cui tale palla è compatta non è quella indotta dalla norma. Questo è il senso del NB.
Quanto alla dimostrazione dell'OP, quella definizione di \(B'\) non ha senso. Se un funzionale lineare \(\lambda\) non è continuo allora \(\lVert \lambda\rVert=\infty\).
Ha senso, è un modo astruso di dire che \( B' = B \)
"3m0o":
Avrei bisogno una mano per questo esercizio:
Sia \( V \) uno spazio di Banach, e sia
\[ B = \{ \lambda \in V^{\ast} : \left \| \lambda \right \| \leq 1 \} \]
dimostra che \(B\) è weak-\(^{\ast} \) compatto.
Hint: Applica il teorema di Tychonoff su qualche prodotto di spazi compatti.
NB: \(B\) è tipicamente chiamato "la palla unitaria chiusa", quindi magari chiarifica nella tua testa per quale topologia \(B\) è chiuso.
Allora già nel NB ho un po' di difficoltà, immagino che sia chiuso per la weak\(^{\ast}\) topologia, ma non ho ben capito cosa sia questa topologia. Il prof non ce l'ha spiegata.
Leggendo qui https://en.wikipedia.org/wiki/Weak_topology#Weak-*_topology
vedo che la weak\(^{\ast}\) topology su \( V^{\ast} \) è la weak topology indotta dall'immagine di \(T(V) \subseteq V^{\ast \ast} \), dove \(T \) è l'iniezione nel doppio duale. Ma non capisco il senso e nemmeno come faccia \(T(V)\) ad indurre una topologia su \(V^{\ast}\).
Passando oltre al NB, la mia idea è questa
Abbiamo che \( V^{\ast} \) è duale, quindi i lineari continui, denotando con \(V' \) il duale algebrico (quindi solo i lineari, non necessariamente continui), definiamo \(B' = \{ \lambda \in V' : \left \| \lambda \right \| \leq 1 \} \). Voglio prima dimostrare il teorema su \(B' \) e poi dire che poiché
\[ B = B' \cap V^{\ast} \]
regge anche per \(B\) in qualche modo. Intuitivamente passerei da \( \prod_{v \in V} B(r_v) \) e dimostrerei che \( B' \subseteq \prod_{v \in V} B(r_v) \) è chiuso, ora poiché le palle \( B(r_v) = \{ x \in F : \left| x \right| \leq r_v \} \subseteq F \) per qualche \(r_v > 0 \), dove \(F\) è il campo di \(V\), sono compatte, vorrei dire per Tychonoff che \(B'\) è un sottoinsieme compatto. Però non so se sto facendo casini mischiando topologie differenti.
Premessa: non ricordo al 100% ma questi argomenti.
$X^(*)$ solitamente lo definisco cosi: la famiglia di seminorme $|
Il teorema ti dice che $B$ è $w^(*)$ compatto.
Non del ricordo del tutto la dimostrazione, ma mi pare procedesse cosi:
Ogni elemento $x^{*}$ della bolla è tale che $|
Ora consideriamo $P$ ovvero la produttoria su $x in X$ dei dischi. Allora per il teorema di T. P è compatto nella topologia prodotto.
Per dimostrare il teorema ora dobbiamo mostrare che:
1) una base per la topologia indotta da $P$ su $B$ coincide con una base per la $w^(*)$ topologia
2)B è chiuso nella topologia prodotto, cosicché è compatto nella topologia prodotto e quindi nella topologia $w^(*)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo