Teorema della funzione inversa in analisi complessa

[tommy1996q]

Vorrei capire se il ragionamento è corretto. Il teorema dice che se ho una funzione olomorfa in $a$ e $f'(a) \ne 0$, allora esistono intorni $U$ di $a$ e $V$ di $f(a)$ aperti tale che la funzione $f$ è biunivoca da $U$ in $f(U)$, la derivata di $f$ non si annulla mai in $U$ (se non mi sbaglio...) e la funzione inversa è ancora olomorfa.

Ho già dimostrato il teorema in $\mathbb{R}^n$, voglio sapere se il seguente ragionamento è giusto. Visto che $f$ è olomorfa, allora è differenziabile in $\mathbb{R}^2$ (e anzi credo che sia $C^{\infty}$ perchè le funzioni olomorfe sono analitiche, o sbaglio?) e valgono le equazioni di Cauchy-Riemann. Allora esiste una funzione inversa che è $C^1$, e sapendo che la jacobiana di $f$ ha la forma $$\left[ \begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix} \right]$$ concludo facilmente che anche la funzione inversa ha una matrice di quella forma, pertanto è olomorfa in quanto soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann.

Va bene come ragionamento?

[Luca.Lussardi]

Si, l'unica cosa che osserverei meglio e' che la condizione $f'(a)\ne 0$ garantisce che il differenziale reale di $f$ in $a$ sia invertibile, che e' l'ipotesi cruciale per poter applicare il teorema di inversione locale in $\mathbb R^n$.

[tommy1996q]

Giusto, per completezza diciamolo: vale perchè $f'(a) \ne 0 \Rightarrow ||f'(a)|| \ne 0$, che è proprio il jacobiano.