Tdm - passo dimostrazione

[anto_zoolander]

Ciao!

riguardavo una dimostrazione passata e c'é una cosa che non mi è chiara: è una parte del teorema di Caratheodory

si considerano un insieme non vuoto $X$, una misura esterna $lambda:P(X)->RR$ e l'insieme

$M={A in P(X): forallE inP(X), lambda(E)=lambda(AcapE)+lambda(A^(c)capE)}$

il dubbio si trova nella parte in cui si mostra che $M$ è una $sigma$-algebra

supponete di aver già provato che $M$ sia una algebra e che $lambda$ sia additiva su $M$, si usa la seguente tecnica: si mostra che per ogni successione ${A_n}subset M$ di insiemi a due a due disgiunti si ha $S:=bigcup_(i in NN)A_i inM$

a tale scopo si pone $S_n:=bigcup_(i=1)^(n)A_i$ e si prende $E in P(X)$

$lambda(EcapS)+lambda(EcapS^(c))leq$ per $sigma$-subadditività $leqsum_(i=1)^(+infty)lambda(EcapA_i)+lambda(EcapS^(c))=$

$=lim_(n->+infty)sum_(i =1)^(n)lambda(EcapA_i)+lambda(EcapS^(c))=lim_(n->+infty)lambda(EcapS_n)+lambda(EcapS^(c))leqstar$

questo ultimo passaggio è giustificato dal fatto che se $A_1,...,A_n in M$ a due a due disgiunti allora

$lambda(bigcup_(i=1)^(n)A_i cap E)=sum_(i=1)^(n)lambda(A_i cap E)$

ora si osserva che $S_n subset S => S^c subset S_(n)^(c)$ quindi

$star leq lim s u p[ lambda(S_n cap E) + lambda(S_n^(c)capE)]=lambda(E)$

quello che non capisco è: perché tirare in ballo limsup? è necessario?

essendo $forall n in NN, S^c subset S_n^(c)$, data la monotonia della misura esterna

$lambda(S^c capE)leqlambda(S_n^(c)capE) => lambda(S^c cap E)leq lim_(n->+infty)lambda(S_n^c cap E)$

quindi

$star leq lim_(n->+infty)[lambda(S_n cap E)+lambda(S_n cap E^c)]=lambda(E)$

l'ultimo passo è giustificato dal fatto che essendosi provato che $M$ è una algebra allora anche gli $S_n$ stanno in $M$. A me sembra che così regga ugualmente

[dissonance]

Non lo so, ma mi pare sia uguale, no? Tante volte uno passa al limsup perché tanto quello è sicuro che esiste. Passare al limite richiede di dimostrare che il limite esista, c'è un passaggio logico in più da fare.

[anto_zoolander]

Si sono d'accordo, il discorso è che qui l'esistenza del limite è banale: sia perché le successioni sono monotone, sia perché quegli insiemi sono misurabili.
Però mi hai chiarito il dubbio quindi perfetto