Sviluppo Serie di Laurent in fratti semplici
Salve ragazzi, mi servirebbe un aiuto con questa serie di Laurent. Non so come centrare in Z=3 il termine 1/(z-2)^2 che mi esce quando vado a sviluppare i fratti semplici.
La f(z) = (z-1) / (z-2)^2 * (z-3)^2 e voglio lo sviluppo in seire di Laurent centrato in z=3 e convergente in z = 5/2.
Sviluppando in fratti semplici avrò A / z-2 + B / (z-2) ^2 + C / z-3 + D / (z-3) ^2 , una volta calcolati i coefficienti A=3, B=1, C=-3 e D=2 devo centrare i primi due termini in z=3.
Per il primo non ho avuto problemi ma per il seocndo come posso fare?
Grazie in anticipo!
La f(z) = (z-1) / (z-2)^2 * (z-3)^2 e voglio lo sviluppo in seire di Laurent centrato in z=3 e convergente in z = 5/2.
Sviluppando in fratti semplici avrò A / z-2 + B / (z-2) ^2 + C / z-3 + D / (z-3) ^2 , una volta calcolati i coefficienti A=3, B=1, C=-3 e D=2 devo centrare i primi due termini in z=3.
Per il primo non ho avuto problemi ma per il seocndo come posso fare?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao Marcelcip3,
Benvenuto sul forum!
Cerca di usare i simboli di dollaro per le formule, che viene meglio...
$ f(z) = (z-1)/((z-2)^2 (z-3)^2) = 3/(z-2) + 1/(z-2)^2 - 3/(z-3) + 2/(z-3)^2 $
Gli ultimi due termini con $(z - 3)$ vanno già bene così come sono, per i primi due invece si ha:
$3/(z - 2) = 3/(1 + (z - 3)) = 3 \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (z - 3)^n $
$ 1/(z-2)^2 = - (\text{d})/(\text{d}z) [1/(1 + (z-3))] = - (\text{d})/(\text{d}z)[\sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (z - 3)^n] = \sum_{n = 1}^{+\infty} n (-1)^{n + 1} (z - 3)^{n - 1} = $
$ = \sum_{m = 0}^{+\infty} (-1)^{m + 2}(m + 1) (z - 3)^m = \sum_{m = 0}^{+\infty} (-1)^{m}(m + 1) (z - 3)^m = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) (z - 3)^n $
ove nell'ultimo passaggio l'indice $m $ è stato chiamato nuovamente con $n$ per comodità.
Dunque si ha:
$ 3/(z-2) + 1/(z-2)^2 = 3 \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (z - 3)^n + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) (z - 3)^n = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 3 \cdot (z - 3)^n + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) (z - 3)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 4) (z - 3)^n $
naturalmente per $|z - 3| < 1 $
Benvenuto sul forum!
Cerca di usare i simboli di dollaro per le formule, che viene meglio...
$ f(z) = (z-1)/((z-2)^2 (z-3)^2) = 3/(z-2) + 1/(z-2)^2 - 3/(z-3) + 2/(z-3)^2 $
$ f(z) = (z-1)/((z-2)^2 (z-3)^2) = 3/(z-2) + 1/(z-2)^2 - 3/(z-3) + 2/(z-3)^2 $
Gli ultimi due termini con $(z - 3)$ vanno già bene così come sono, per i primi due invece si ha:
$3/(z - 2) = 3/(1 + (z - 3)) = 3 \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (z - 3)^n $
$ 1/(z-2)^2 = - (\text{d})/(\text{d}z) [1/(1 + (z-3))] = - (\text{d})/(\text{d}z)[\sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (z - 3)^n] = \sum_{n = 1}^{+\infty} n (-1)^{n + 1} (z - 3)^{n - 1} = $
$ = \sum_{m = 0}^{+\infty} (-1)^{m + 2}(m + 1) (z - 3)^m = \sum_{m = 0}^{+\infty} (-1)^{m}(m + 1) (z - 3)^m = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) (z - 3)^n $
ove nell'ultimo passaggio l'indice $m $ è stato chiamato nuovamente con $n$ per comodità.
Dunque si ha:
$ 3/(z-2) + 1/(z-2)^2 = 3 \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (z - 3)^n + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) (z - 3)^n = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 3 \cdot (z - 3)^n + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) (z - 3)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 4) (z - 3)^n $
naturalmente per $|z - 3| < 1 $
Grazie mille!
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