Sviluppo in serie di Laurent di una funzione fratta
Ciao a tutti sto studiando le serie di Laurent, ma ho trovato dei problemi banali che non sono riuscito a capire. Un esercizio tipo è il seguente:
Determinare lo sviluppo in serie di Laurent negli insiemi \(\displaystyle |z+1|>3 \) e \(\displaystyle 1<|z|<2 \) di $ f(z) = (z^2+2)/(z^3-3z^2+2z)$
da quello che ho capito scrivo la funzione in fratti semplici e trovo :
$ f(z) = 1/z - 3/(z-1) + 3/(z-2)$ quindi ho i seguneti punti singolari $0, 1,2$
Ora ragionando sull'invervallo $1<|z|<2$ qui vengono i problemi, cioè credo di non aver capito bene l'insieme e la natura dei punti singolari
$f1(z) = 1/z$ mi spiegate perchè questo è già in forma di Laurent ma nell'intervallo $0<|z|<1$
Determinare lo sviluppo in serie di Laurent negli insiemi \(\displaystyle |z+1|>3 \) e \(\displaystyle 1<|z|<2 \) di $ f(z) = (z^2+2)/(z^3-3z^2+2z)$
da quello che ho capito scrivo la funzione in fratti semplici e trovo :
$ f(z) = 1/z - 3/(z-1) + 3/(z-2)$ quindi ho i seguneti punti singolari $0, 1,2$
Ora ragionando sull'invervallo $1<|z|<2$ qui vengono i problemi, cioè credo di non aver capito bene l'insieme e la natura dei punti singolari
$f1(z) = 1/z$ mi spiegate perchè questo è già in forma di Laurent ma nell'intervallo $0<|z|<1$
Risposte
nessuno sa darmi un aiuto??
"arnett":
Cosa non hai capito? Una serie di Laurent centrata in $z_0$ è uno sviluppo della forma $\f(z)=\sum_{n\in\ZZ} a_n(z-z_0)^n$. Ora, $1/z$ rientra in questo caso? Sì, con $z_0=0$ e i coefficienti $a_n$ tutti nulli tranne uno, quindi è la serie di Laurent di se stesso intorno a $0$. Non è invece uno sviluppo intorno a $1$ per ovvi motivi: non è della forma della sommatoria che ho scritto.
si ma non ho capito perchè non considera l'inverllo $1<|z|<2$
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