Sviluppo in serie di Laurent
Buonasera, mi servirebbe, se fosse possibile, un aiuto per un esercizio che recita così:
Sviluppare in serie di Laurent la seguente funzione:
$ f(z)=1/(z(z-1)^2(z-2) $ in $ 0<|z-1|<1 $
Io ho proceduto in tal modo:
Ho diviso in fratti semplici la funzione trovando la seguente relazione:
$ f(z)=1/2*1/z-1/(z-1)^2+1/2*1/(z-2) $
Cerco di ricondurmi ad una serie geometrica nel seguente modo:
$ 1/z=1/(z-1+1)=1/(1-(-(z-1))) $
per $ 0<|z-1|<1 $ si ha:
$ sum_(n=0)^oo (-1)^n*(z-1)^n $
Procedo allo stesso modo per il terzo fratto:
$ 1/(z-2)=1/(z-1-1)=-1/(1-(z-1)) $
per $ 0<|z-1|<1 $ si ha:
$- sum_(n=0)^(oo) (z-1)^n $
Ora arriva il mio dubbio, procedo con il secondo termine:
$ 1/(z-1)^2=-d/dz 1/(z-1) $
Come procedo adesso? Non a riesco a capire come ricondurmi ad una serie geometrica, sempre se sia possibile (in quanto voglio sviluppare nel punto $ z=1 $, che è un punto singolare per f). Non so se il mio ragionamento sia corretto, o se mi sfugge qualcosa, chiedo aiuto a voi. Grazie in anticipo
Sviluppare in serie di Laurent la seguente funzione:
$ f(z)=1/(z(z-1)^2(z-2) $ in $ 0<|z-1|<1 $
Io ho proceduto in tal modo:
Ho diviso in fratti semplici la funzione trovando la seguente relazione:
$ f(z)=1/2*1/z-1/(z-1)^2+1/2*1/(z-2) $
Cerco di ricondurmi ad una serie geometrica nel seguente modo:
$ 1/z=1/(z-1+1)=1/(1-(-(z-1))) $
per $ 0<|z-1|<1 $ si ha:
$ sum_(n=0)^oo (-1)^n*(z-1)^n $
Procedo allo stesso modo per il terzo fratto:
$ 1/(z-2)=1/(z-1-1)=-1/(1-(z-1)) $
per $ 0<|z-1|<1 $ si ha:
$- sum_(n=0)^(oo) (z-1)^n $
Ora arriva il mio dubbio, procedo con il secondo termine:
$ 1/(z-1)^2=-d/dz 1/(z-1) $
Come procedo adesso? Non a riesco a capire come ricondurmi ad una serie geometrica, sempre se sia possibile (in quanto voglio sviluppare nel punto $ z=1 $, che è un punto singolare per f). Non so se il mio ragionamento sia corretto, o se mi sfugge qualcosa, chiedo aiuto a voi. Grazie in anticipo
Risposte
Beh, ma:
$1/(z-1)^2 = ("d")/("d"z)[ 1/(1-z)] = ("d")/("d"z) sum_(n=0)^oo z^n$
quindi...
$1/(z-1)^2 = ("d")/("d"z)[ 1/(1-z)] = ("d")/("d"z) sum_(n=0)^oo z^n$
quindi...
Certo, sono d'accordo con ciò che hai scritto, ma purtroppo l'esercizio chiede esplicitamente che lo sviluppo deve essere centrato in $ z=1 $, nel caso da te considerato è centrato in 0.
Ciao matteo zarba,
Benvenuto sul forum!
Innanzitutto attenzione perché c'è un errore, perché si ha:
$f(z) = 1/(z(z-1)^2(z-2)) = - 1/2*1/z-1/(z-1)^2+1/2*1/(z-2) $
Scusa, ma a quale scopo? Non stai cercando uno sviluppo di Laurent con potenze di $(z - 1)$?
Quindi il termine $ - 1/(z - 1)^2 = - (z - 1)^{- 2} $ va già bene così com'è...
In definitiva lo sviluppo di Laurent proposto mi risulta il seguente:
$f(z) = \sum_{n = -2}^{+\infty} a_n (z - 1)^n $
ove $a_n := {(- 1 \text{ per } n = - 2),(0 \text{ per } n = - 1),(1/2[- 1 + (-1)^{n + 1}] \text{ per } n \ge 0):} $ per $ 0 < |z - 1| < 1 $
Benvenuto sul forum!
Innanzitutto attenzione perché c'è un errore, perché si ha:
$f(z) = 1/(z(z-1)^2(z-2)) = - 1/2*1/z-1/(z-1)^2+1/2*1/(z-2) $
"matteo zarba":
Non a riesco a capire come ricondurmi ad una serie geometrica
Scusa, ma a quale scopo? Non stai cercando uno sviluppo di Laurent con potenze di $(z - 1)$?
Quindi il termine $ - 1/(z - 1)^2 = - (z - 1)^{- 2} $ va già bene così com'è...
In definitiva lo sviluppo di Laurent proposto mi risulta il seguente:
$f(z) = \sum_{n = -2}^{+\infty} a_n (z - 1)^n $
ove $a_n := {(- 1 \text{ per } n = - 2),(0 \text{ per } n = - 1),(1/2[- 1 + (-1)^{n + 1}] \text{ per } n \ge 0):} $ per $ 0 < |z - 1| < 1 $
Grazie mille, avevo proprio in questo momento intuito questa cosa e svolto in quel modo, e mi viene corretto a meno dell'errore nei fratti iniziale. Ancora grazie mille
"matteo zarba":
Certo, sono d'accordo con ciò che hai scritto, ma purtroppo l'esercizio chiede esplicitamente che lo sviluppo deve essere centrato in $ z=1 $, nel caso da te considerato è centrato in 0.
Sì, scusa, avevo letto male… Ma in tal caso già tutto è centrato in $1$, quindi che problema c’è?
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