Sviluppo in serie di Laurent
Ciao a tutti! Questo è il primo post quindi cercherò di essere il più corretto possibile, perdonate eventuali cafonate.
Sto riscontrando un problema con un esercizio di analisi complessa dove mi chiede di trovare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione:
$ f(z)= (4+z)/(z^2*(z+3)) $
in $ 0<|z|<3 $
Ora, io come prima cosa ho scomposto in fratti semplici la mia funzione e ho ottenuto:
$ f(z)=4/3*1/z^2+1/9*1/(z+3) $
A questo punto noto che:
$ 1/(z+3)=1/3*1/(1+(z/3)) $
Espando usando la serie geometrica dato che nell'intorno definito $ z<3 $ :
$ 1/(z+3)=1/3* \sum_{k=0}^oo (-)^k(\frac{z}{3})^k = \sum_{k=0}^oo (-)^k\frac{z^k}{3^(k+1)} $
Quindi sostituendo nella mia funzione:
$ f(z)= \frac{4}{3z^2}+\sum_{k=0}^oo (-)^k\frac{z^k}{3^(k+3)} $
L'esercizio però dà una soluzione diversa, o meglio, dà la mia stessa soluzione ma con l'aggiunta del termine $ -\frac{1}{9z} $ e vorrei capire come mai/dove sbaglio
Grazie milla in anticipo!
Sto riscontrando un problema con un esercizio di analisi complessa dove mi chiede di trovare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione:
$ f(z)= (4+z)/(z^2*(z+3)) $
in $ 0<|z|<3 $
Ora, io come prima cosa ho scomposto in fratti semplici la mia funzione e ho ottenuto:
$ f(z)=4/3*1/z^2+1/9*1/(z+3) $
A questo punto noto che:
$ 1/(z+3)=1/3*1/(1+(z/3)) $
Espando usando la serie geometrica dato che nell'intorno definito $ z<3 $ :
$ 1/(z+3)=1/3* \sum_{k=0}^oo (-)^k(\frac{z}{3})^k = \sum_{k=0}^oo (-)^k\frac{z^k}{3^(k+1)} $
Quindi sostituendo nella mia funzione:
$ f(z)= \frac{4}{3z^2}+\sum_{k=0}^oo (-)^k\frac{z^k}{3^(k+3)} $
L'esercizio però dà una soluzione diversa, o meglio, dà la mia stessa soluzione ma con l'aggiunta del termine $ -\frac{1}{9z} $ e vorrei capire come mai/dove sbaglio
Grazie milla in anticipo!
Risposte
Beh, usualmente è la scomposizione in fratti che si sbaglia... Controlla lì.
Il mio procedimento è il seguente:
$ \frac{4+z}{z^2*(z+3)}=\frac{A}{z^2}+\frac{B}{z+3} $
Quindi calcolo i coefficenti come:
$ A=lim_(z->0) z^2*f(z)= lim_(z->0) \frac{4+z}{z+3} = 4/3 $
$ B=lim_(z->-3) (z+3)*f(z)= lim_(z->0) \frac{4+z}{z^2} = 1/9 $
Corretto?
Nella soluzione dell'esercizio si fa un'altra scomposizione in fratti semplici dalla quale emerge effetivamente il termine mancante:
$ f(z)=1/z^2+\frac{1}{z^2(z+3)} $
Il risultato però non dovrebbe dipendere dalla scomposizione
$ \frac{4+z}{z^2*(z+3)}=\frac{A}{z^2}+\frac{B}{z+3} $
Quindi calcolo i coefficenti come:
$ A=lim_(z->0) z^2*f(z)= lim_(z->0) \frac{4+z}{z+3} = 4/3 $
$ B=lim_(z->-3) (z+3)*f(z)= lim_(z->0) \frac{4+z}{z^2} = 1/9 $
Corretto?
Nella soluzione dell'esercizio si fa un'altra scomposizione in fratti semplici dalla quale emerge effetivamente il termine mancante:
$ f(z)=1/z^2+\frac{1}{z^2(z+3)} $
Il risultato però non dovrebbe dipendere dalla scomposizione
Infatti, sbagli la scomposizione... Proprio un errore da Analisi I.
La scomposizione di $f(z)$ è del tipo $A/z^2 + B/z + C/(z+3)$.
La scomposizione di $f(z)$ è del tipo $A/z^2 + B/z + C/(z+3)$.
Cavolo che svista!
Grazie mille ripasserò il capitolo di scomposizione
Grazie mille ripasserò il capitolo di scomposizione
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