Sviluppo in serie di Laurent
Salve a tutti, sono da un paio di giorni alle prese con l'analisi complessa e oggi mi sono bloccato a metà di questo esercizio:
devo prima trovare e studiare le singolarità della funzione $f(z)=1/(z+i)cos(1/z)$ e poi calcolare l'integrale lungo $Gamma$ di $f(z)$ essendo $Gamma$ la frontiera del dominio $D={z \in CC : |z|=2}$.
Le singolarità sono $z_0=0$ e $z_1=-i$ e sono rispettivamente una singolarità essenziale e un polo semplice.
Per calcolare l'integrale $I$ richiesto voglio stavo usando il metodo dei residui, ovvero:
$I=2 pi i [Res(f(z),0)+Res(f(z),-i)]$ e mi sono bloccato nella ricerca di $Res(f(z),0)$ essendo $z_0=0$ una singolarità essenziale, il residuo sarà il coefficiente del termine $C_(-1)$ dello sviluppo in serie di Laurent della funzione. Arrivo al dunque: non sono riuscito a scrivere tale sviluppo .... Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo !
devo prima trovare e studiare le singolarità della funzione $f(z)=1/(z+i)cos(1/z)$ e poi calcolare l'integrale lungo $Gamma$ di $f(z)$ essendo $Gamma$ la frontiera del dominio $D={z \in CC : |z|=2}$.
Le singolarità sono $z_0=0$ e $z_1=-i$ e sono rispettivamente una singolarità essenziale e un polo semplice.
Per calcolare l'integrale $I$ richiesto voglio stavo usando il metodo dei residui, ovvero:
$I=2 pi i [Res(f(z),0)+Res(f(z),-i)]$ e mi sono bloccato nella ricerca di $Res(f(z),0)$ essendo $z_0=0$ una singolarità essenziale, il residuo sarà il coefficiente del termine $C_(-1)$ dello sviluppo in serie di Laurent della funzione. Arrivo al dunque: non sono riuscito a scrivere tale sviluppo .... Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo !
Risposte
suppongo che il tuo problema sia il primo pezzo, ossia:
$\frac{1}{z+i}$
Ora se non ricordo male dovresti fare così
$\frac{1}{z+i}=\frac{-i}{1-iz}=-i\frac{1}{1-iz}=-i\sum(iz)^n =\sum z^ni^{n+3}$
$\frac{1}{z+i}$
Ora se non ricordo male dovresti fare così
$\frac{1}{z+i}=\frac{-i}{1-iz}=-i\frac{1}{1-iz}=-i\sum(iz)^n =\sum z^ni^{n+3}$
Ciao, puoi dirmi da dove hai preso questo esercizio? vorrei esercitarmi anche io su esercizi simili
Sono esercizi di compiti di esame di fisica matematica svolti a ingegneria industriale a Catania dal prof. Romano Vincenzo .. puoi trovarli sul suo sito web
GRazie,
@ Caronte
Immagino che tu abbia già risolto.
Immagino che tu abbia già risolto.
Si gentilissimo!
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