Sviluppo di Taylor
Buonasera a tutti, avrei una piccola questione:
Si consideri la funzione di variabile complessa $ f(z) = cosz/(z^2+1)^2 $ .
Calcolare lo sviluppo di Taylor all'ordine 2 di $ f(z) $ centrato in $ z=0 $ .
Applicando il teorema di Taylor trovo che $ f(0)=1, fprime(0)=0,fprimeprime(0)=-5, $
quindi si conclude che $ f(z)=1-5/2z^2+o(z^2) $.
Il mio dubbio è: posso sviluppare singolarmente i 2 termini $ cosz=1-z^2/2+o(z^2) $ e $ (z^2+1)^2=1+2z^2+o(z^2) $ e poi procedere dicendo che $ cosz/(z^2+1)^2=(1-z^2/2)/(1+2z^2)+o(z^2)=(1-z^2/2+5/2z^2-5/2z^2)/(1+2z^2)+o(z^2) =$
$ =1-(5/2z^2)/(1+2z^2)+o(z^2)=1-5/2z^2+o(z^2) $ ?
L'ultimo passaggio lo otterrei facendo tendere $ z-> 0 $ ma capisco che le basi non sono solide.
Qualche altro suggerimento?
Si consideri la funzione di variabile complessa $ f(z) = cosz/(z^2+1)^2 $ .
Calcolare lo sviluppo di Taylor all'ordine 2 di $ f(z) $ centrato in $ z=0 $ .
Applicando il teorema di Taylor trovo che $ f(0)=1, fprime(0)=0,fprimeprime(0)=-5, $
quindi si conclude che $ f(z)=1-5/2z^2+o(z^2) $.
Il mio dubbio è: posso sviluppare singolarmente i 2 termini $ cosz=1-z^2/2+o(z^2) $ e $ (z^2+1)^2=1+2z^2+o(z^2) $ e poi procedere dicendo che $ cosz/(z^2+1)^2=(1-z^2/2)/(1+2z^2)+o(z^2)=(1-z^2/2+5/2z^2-5/2z^2)/(1+2z^2)+o(z^2) =$
$ =1-(5/2z^2)/(1+2z^2)+o(z^2)=1-5/2z^2+o(z^2) $ ?
L'ultimo passaggio lo otterrei facendo tendere $ z-> 0 $ ma capisco che le basi non sono solide.
Qualche altro suggerimento?
Risposte
Non credo sia sensato, mandi al limite solo il membro di destra e solo in alcuni pezzi; prova ad usare lo sviluppo di $(1+z^2)^{-2}$ centrato in $z=0$.
Sicuramente quel limite lì non ha senso.
In generale se hai due funzioni \( f\) e \(g \) con rispettivi sviluppi di Taylor (centrati in zero, ma vale per ogni altro centro)
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k x^k \]
\[ g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} g_k x^k \]
dove \(f_n \) e \(g_n \) sono i coefficenti della serie di Taylor. Poniamo inoltre \(h(x) = f(x) g(x) \) e consideriamo il suo sviluppo in serie
\[ h(x)= \sum_{k=0}^{\infty} h_k x^k \]
Allora hai che
\[ f(x) g(x) = \left( \sum_{k=0}^{\infty} f_k x^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} g_k x^k \right) = \sum_{k=0}^{\infty} h_k x^k \]
Allora per il prodotto di Cauchy ottieni che
\[ h_n = \sum_{k=0}^{n} f_k g_{n-k} \]
Questo a cosa ti serve?
Puoi sì fare come ti suggerisce Mephlip e quindi usare il prodotto. Oppure poni \( h(z)=\cos(z) \) e \( g(z) = (1+z^2)^{2} \) e \( f(z) = \frac{h(z)}{g(z)} = \frac{\cos(z)}{(1+z^2)^2} \) e dunque ottieni che
\[ h(z) = g(z) f(z) \]
A te interessano dunque \( f_0,f_1,f_2 \) e conosci facilmente \( h_0=1, h_1=0,h_2=- \frac{1}{2} \) e conosci \(g_0 = 1 , g_1=0 , g_2=2 \). Bene, ora si tratta di calcolarti semplicemente
\[ h_0 = f_0 g_0 \Rightarrow f_0 = h_0/g_0 = 1 \]
\[ h_1 = g_0 f_1 + g_1 f_0 \Leftrightarrow 0 = f_1 + 0 \]
\[ h_2 = g_0 f_2 + f_1 g_1 + g_2 f_0 \Leftrightarrow f_2 = -\frac{5}{2} \]
In generale se hai due funzioni \( f\) e \(g \) con rispettivi sviluppi di Taylor (centrati in zero, ma vale per ogni altro centro)
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k x^k \]
\[ g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} g_k x^k \]
dove \(f_n \) e \(g_n \) sono i coefficenti della serie di Taylor. Poniamo inoltre \(h(x) = f(x) g(x) \) e consideriamo il suo sviluppo in serie
\[ h(x)= \sum_{k=0}^{\infty} h_k x^k \]
Allora hai che
\[ f(x) g(x) = \left( \sum_{k=0}^{\infty} f_k x^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} g_k x^k \right) = \sum_{k=0}^{\infty} h_k x^k \]
Allora per il prodotto di Cauchy ottieni che
\[ h_n = \sum_{k=0}^{n} f_k g_{n-k} \]
Questo a cosa ti serve?
Puoi sì fare come ti suggerisce Mephlip e quindi usare il prodotto. Oppure poni \( h(z)=\cos(z) \) e \( g(z) = (1+z^2)^{2} \) e \( f(z) = \frac{h(z)}{g(z)} = \frac{\cos(z)}{(1+z^2)^2} \) e dunque ottieni che
\[ h(z) = g(z) f(z) \]
A te interessano dunque \( f_0,f_1,f_2 \) e conosci facilmente \( h_0=1, h_1=0,h_2=- \frac{1}{2} \) e conosci \(g_0 = 1 , g_1=0 , g_2=2 \). Bene, ora si tratta di calcolarti semplicemente
\[ h_0 = f_0 g_0 \Rightarrow f_0 = h_0/g_0 = 1 \]
\[ h_1 = g_0 f_1 + g_1 f_0 \Leftrightarrow 0 = f_1 + 0 \]
\[ h_2 = g_0 f_2 + f_1 g_1 + g_2 f_0 \Leftrightarrow f_2 = -\frac{5}{2} \]
Ok, ora mi è più chiaro l'argomento. Grazie mille!
Più "alla carlona", hai:
$f(z) = cos z * (1/(1+z^2))^2 = (1 - 1/2 z^2 + ...) * (1 - z^2 + ...)^2 = (1 - 1/2 z^2 + ...) * (1 - 2 z^2 + ...) = 1 - 5/2 z^2 + ...$
in cui $... = "termini d'ordine superiore"$.
$f(z) = cos z * (1/(1+z^2))^2 = (1 - 1/2 z^2 + ...) * (1 - z^2 + ...)^2 = (1 - 1/2 z^2 + ...) * (1 - 2 z^2 + ...) = 1 - 5/2 z^2 + ...$
in cui $... = "termini d'ordine superiore"$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo