Superadditività della misura dei compatti
Buongiorno,
studiando il libro di analisi 2 Fusco, Marcellini, Sbordone, sono incappato in un piccolo teorema che mi ha messo un po' in crisi, non perché penso sia falso, ma perché mi sembra inutilmente debole, sto parlando della superadditività della misura dei compatti secondo Lebesgue.
In pratica, per costruire la misura di Lebesgue in $R^n$ il libro prima definisce la misura degli intervalli poi quella dei Plurintervalli, e poi definisce la misura degli aperti e dei compatti, successivamente definirà la misura interna ed esterna.
In particolare la misura dei compatti la definisce come $$m(K)=\inf \{ m(P) : \mathop P\limits^ \circ \supset K\}$$ e fin qui tutto bene, poi dice:
Siano $F$ e $K$ due compatti tali per cui $K\cap F=\emptyset$, allora $m(F\cup K)\ge m(F)+m(K)$
Ora io non dico che questo sia falso, anzi! ma non capisco perché accontentarsi della disuguaglianza, per me dovrebbe valere l'uguaglianza, qualcuno sa far luce sulla faccenda?
Successivamente, anche la misura interna si porterà dietro questo fardello con un teorema del tutto identico a quello appena scritto(basta scrivere $m_i$ al posto di $m$ e trattare $F$ e $K$ come insiemi generici limitati), e anche in quel caso non capisco perché accontentarsi della superadditività quando secondo me è evidente che debba valere l'additività, se così non fosse mi farebbe comodo vedere dei controesempi... Ringrazio in anticipo chi avrà la cortesia di far luce sulla faccenda perché non la so sbrogliare...
studiando il libro di analisi 2 Fusco, Marcellini, Sbordone, sono incappato in un piccolo teorema che mi ha messo un po' in crisi, non perché penso sia falso, ma perché mi sembra inutilmente debole, sto parlando della superadditività della misura dei compatti secondo Lebesgue.
In pratica, per costruire la misura di Lebesgue in $R^n$ il libro prima definisce la misura degli intervalli poi quella dei Plurintervalli, e poi definisce la misura degli aperti e dei compatti, successivamente definirà la misura interna ed esterna.
In particolare la misura dei compatti la definisce come $$m(K)=\inf \{ m(P) : \mathop P\limits^ \circ \supset K\}$$ e fin qui tutto bene, poi dice:
Siano $F$ e $K$ due compatti tali per cui $K\cap F=\emptyset$, allora $m(F\cup K)\ge m(F)+m(K)$
Ora io non dico che questo sia falso, anzi! ma non capisco perché accontentarsi della disuguaglianza, per me dovrebbe valere l'uguaglianza, qualcuno sa far luce sulla faccenda?
Successivamente, anche la misura interna si porterà dietro questo fardello con un teorema del tutto identico a quello appena scritto(basta scrivere $m_i$ al posto di $m$ e trattare $F$ e $K$ come insiemi generici limitati), e anche in quel caso non capisco perché accontentarsi della superadditività quando secondo me è evidente che debba valere l'additività, se così non fosse mi farebbe comodo vedere dei controesempi... Ringrazio in anticipo chi avrà la cortesia di far luce sulla faccenda perché non la so sbrogliare...
Risposte
Vale l'additività. Non ho studiato teoria della misura su quel libro dunque non so dirti perché faccia così. Probabilmente mostrerà più avanti che vale l'additività finita e la sigma additività su un opportuno sottoinsieme di \( \mathcal{P}(\mathbb{R}^n) \).
Infatti per i compatti io sono sicuro che vale l'additività, perché la misura introdotta coincide con la misura di lebesgue dei compatti che sono misurabili, e penso sia un modo per mettere in risalto poi la superadditività della misura interna... la domanda a questo punto è : vale l'additività anche per la misura interna? ovviamente vale se un insieme è misurabile, ma vale anche se non è misurabile?
Dunque, ciò di cui sono certo è che non vale in generale la finita addività per la misura esterna di Lebesgue. Per la misura interna ci devo pensare ma penso comunque di no.
Il tuo libro come definisce un insieme misurabile?
Il tuo libro come definisce un insieme misurabile?
Ok, potrei avere una risposta.
Sia \( V \subset [0,1] \) l'insieme di Vitali. E' noto che
\[ m_*(V)=0 \quad \quad 0 < m^*(V) \le 1 \]
Sia \( \epsilon = m^*(V) \).
Poiché
\[ m([0,1]) = m_*([0,1] - V) + m^*(V) \]
si ha
\[ m_*([0,1] - V ) = 1-\epsilon \Rightarrow m_*(V \cup ([0,1] -V) ) = m_*([0,1]) > m_*(V)+ m_*([0,1]-V) = 0 + 1- \epsilon \]
Dunque ti è sufficiente prendere \( A= V \) e \( B = [0,1]-V \).
Sia \( V \subset [0,1] \) l'insieme di Vitali. E' noto che
\[ m_*(V)=0 \quad \quad 0 < m^*(V) \le 1 \]
Sia \( \epsilon = m^*(V) \).
Poiché
\[ m([0,1]) = m_*([0,1] - V) + m^*(V) \]
si ha
\[ m_*([0,1] - V ) = 1-\epsilon \Rightarrow m_*(V \cup ([0,1] -V) ) = m_*([0,1]) > m_*(V)+ m_*([0,1]-V) = 0 + 1- \epsilon \]
Dunque ti è sufficiente prendere \( A= V \) e \( B = [0,1]-V \).
"Bossmer":
Infatti per i compatti io sono sicuro che vale l'additività, perché la misura introdotta coincide con la misura di lebesgue dei compatti che sono misurabili, e penso sia un modo per mettere in risalto poi la superadditività della misura interna... la domanda a questo punto è : vale l'additività anche per la misura interna? ovviamente vale se un insieme è misurabile, ma vale anche se non è misurabile?
Per insiemi arbitrari ti devi accontentare di superadditività (subadditività per la misura esterna). Come mi pare mostri correttamente Bremen. Se poi gli insiemi sono misurabili allora hai una vera misura, che è numerabilmente additiva. Questa è la cosiddetta "costruzione di Caratheodory" mascherata.
Grazie questo effettivamente potrebbe essere un contro esempio, ma non capisco da dove tiri fuori questa proprietà:
"Bremen000":
Poiché
\[ m([0,1]) = m_*([0,1] - V) + m^*(V) \]
"dissonance":
Questa è la cosiddetta "costruzione di Caratheodory" mascherata.
Ma la costruzione di Caratheodory non era quella che portava alla definizione di insieme misurabile introducendo solo la misura esterna e dicendo che un insieme $A$ è misurabile solo se $m(A)=m(A\cap E)+m(A\cap E^c)$ per ogni insieme $E\subseteq R^n$ dove $m$ è la misura esterna, definita in uno dei tanti modi, che per gli insiemi per cui vale la precedente uguaglianza corrisponde alla misura di lebesgue?
O intendi che è mascherata perché introdurre anche una misura interna e dire che un insieme è misurabile se misura interna ed esterna coincidono, è lo stesso che scrivere la precedente affermazione? Sicuramente portano allo stesso risultato, ma a me sembrano due costruzioni leggermente diverse o sbaglio?
"Bossmer":
Grazie questo effettivamente potrebbe essere un contro esempio, ma non capisco da dove tiri fuori questa proprietà:[...]
Dovresti trovarne una dimostrazione sul tuo libro o in qualsiasi testo che costruisca la misura di Lebesgue in questa maniera. Uno sketch della dimostrazione puoi vederlo per esempio qui.
"Bossmer":
O intendi che è mascherata perché introdurre anche una misura interna e dire che un insieme è misurabile se misura interna ed esterna coincidono, è lo stesso che scrivere la precedente affermazione? Sicuramente portano allo stesso risultato, ma a me sembrano due costruzioni leggermente diverse o sbaglio?
Non sbagli. Quello che volevo dire è che, se ci mettiamo su un aperto limitato \(A\) di \(\mathbb R^n\), in modo tale che i compatti siano i complementari degli aperti, allora questa "misura interna" si può ottenere dalla misura esterna. Dovrebbe essere \(m_i(X)=m_e(A)-m_e(A\setminus X)\), o qualcosa del genere. Si potrebbe quindi fare a meno della misura interna seguendo Caratheodory.
In ogni caso, hai ragione a dire che sono costruzioni diverse con lo stesso risultato.
Buongiorno Dissonance,
sto cercando di dimostrare il collegamento fra la definizione di misurabilità di Caratheodory e quella che usa misura interna ed esterna...
Però sono in alto mare... Perché il problema è che la definizione di Caratheodory mi dice che $E$ è misurabile se $\forall F\subset \mathbb{R}^n$ si ha che $m_e(F)=m_e(F\cap E) + m_e(F\cap E^c)$ mentre l'altra definizione afferma che $E$ è misurabile se $m_i(E)=m_e(E)$ e non riesco proprio a vedere la strada per connettere con un "se e solo se" queste due affermazioni... Saresti in grado di indicarmi la via ?
sto cercando di dimostrare il collegamento fra la definizione di misurabilità di Caratheodory e quella che usa misura interna ed esterna...
Però sono in alto mare... Perché il problema è che la definizione di Caratheodory mi dice che $E$ è misurabile se $\forall F\subset \mathbb{R}^n$ si ha che $m_e(F)=m_e(F\cap E) + m_e(F\cap E^c)$ mentre l'altra definizione afferma che $E$ è misurabile se $m_i(E)=m_e(E)$ e non riesco proprio a vedere la strada per connettere con un "se e solo se" queste due affermazioni... Saresti in grado di indicarmi la via ?
Aaaaahhh buh. Questo sarà sicuramente dato come esercizio su qualche libro di teoria della misura. Prova a consultare il libro di Bogachev che è una specie di enciclopedia di queste cose. Sarebbe più simpatico cercare di capirlo noi qui sopra ma in questo momento non mi è proprio possibile.
Penso di riuscire a far vedere che interna/esterna implica Caratheodory. Chiamo $m$ la misura di Lebesgue definita nel senso interna/esterna (i/e)
Sia $E \subset \mathbb{R}^n$ un insieme i/e misurabile. Allora per ogni $\epsilon>0$ esistono $F_{\epsilon} \subset E$ chiuso e $E \subset U_{\epsilon}$ aperto tali che $m(U_{\epsilon}-F_{\epsilon}) < \epsilon$. Sia $A \subset \mathbb{R}^n$ arbitrario. Sia $V$ un aperto che contiene $A$. Allora $A-E \subset V-F_{\epsilon}$ e $A \cap E \subset V \cap U_{\epsilon}$ da cui
\[ m_e (A-E) + m_e (A \cap E) \le m(V-F_{\epsilon}) + m(V \cap U_{\epsilon}) \le m(V-U_{\epsilon}) + m(U_{\epsilon}-F_{\epsilon}) + m(V \cap U_{\epsilon}) < m(V) + \epsilon \]
Passando all’inf su \( \{ V \mid A \subset V \, , \, V \text{ aperto} \} \) ottieni
\[ m_e (A-E) + m_e (A \cap E) \le m_e(A) + \epsilon \]
Per arbitrarietà di $\epsilon$ concludi.
L’implicazione opposta credo sia molto più lunga, ma non ricordo bene. Magari in questi giorni ci provo ma si useranno trucchetti simili.
Sia $E \subset \mathbb{R}^n$ un insieme i/e misurabile. Allora per ogni $\epsilon>0$ esistono $F_{\epsilon} \subset E$ chiuso e $E \subset U_{\epsilon}$ aperto tali che $m(U_{\epsilon}-F_{\epsilon}) < \epsilon$. Sia $A \subset \mathbb{R}^n$ arbitrario. Sia $V$ un aperto che contiene $A$. Allora $A-E \subset V-F_{\epsilon}$ e $A \cap E \subset V \cap U_{\epsilon}$ da cui
\[ m_e (A-E) + m_e (A \cap E) \le m(V-F_{\epsilon}) + m(V \cap U_{\epsilon}) \le m(V-U_{\epsilon}) + m(U_{\epsilon}-F_{\epsilon}) + m(V \cap U_{\epsilon}) < m(V) + \epsilon \]
Passando all’inf su \( \{ V \mid A \subset V \, , \, V \text{ aperto} \} \) ottieni
\[ m_e (A-E) + m_e (A \cap E) \le m_e(A) + \epsilon \]
Per arbitrarietà di $\epsilon$ concludi.
L’implicazione opposta credo sia molto più lunga, ma non ricordo bene. Magari in questi giorni ci provo ma si useranno trucchetti simili.
Favoloso! e oltre alla definizione di misura hai usato solo il fatto che l'unione di aperti disgiunti è misurabile e pari alla somma delle misure 
! grazie Bremen000!!
Nel frattempo ci provo anch'io a fare quella opposta, se ci riesco la scrivo
! grazie Bremen000!!Nel frattempo ci provo anch'io a fare quella opposta, se ci riesco la scrivo
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