Sulla misurabilità
Ciao!
dato uno spazio misura e una funzione positiva , solitamente si suppone che la funzione debba essere misurabile.
Tale ipotesi serve soltanto per far si che la classe delle funzioni semplici che minorano $f$ non si riduca alla sola funzione nulla? O c'è anche altro?
per esempio prendo $A$ un insieme non misurabile e $1_A$ la sua funzione indicatrice, che appunto non è semplice poiché non misurabile, nulla mi vieta di definire il suo integrale visto che almeno una funzione semplice che la minora esiste.
dato uno spazio misura e una funzione positiva , solitamente si suppone che la funzione debba essere misurabile.
Tale ipotesi serve soltanto per far si che la classe delle funzioni semplici che minorano $f$ non si riduca alla sola funzione nulla? O c'è anche altro?
per esempio prendo $A$ un insieme non misurabile e $1_A$ la sua funzione indicatrice, che appunto non è semplice poiché non misurabile, nulla mi vieta di definire il suo integrale visto che almeno una funzione semplice che la minora esiste.
Risposte
Se non sbaglio, e non sono sicurissimo, ti direi che non è ben definito il \( \sup \) sulle funzioni semplici che minorano la tua \(f\) perché se \(f \) è una funzione positiva qualunque, e \(A\) è un insieme non misurabile secondo una misura \( \mu \) allora
\[ \int_A f d\mu = \sup_{\varphi} \{ \int_A \varphi : 0 \leq \varphi \leq f \text{ e } \varphi \text{ semplice } \} \]
ora per la funzione semplice \[ \varphi = \sum_{i=0}^{n} a_i \chi_{A_i} \]
hai che
\[ \int_A \varphi d \mu = \sum_{i=0}^{n} a_i \mu( A_i \cap A) \]
se \(A\) non è misurabile \( A_i \cap A \) potrebbe non essere misurabile.
\[ \int_A f d\mu = \sup_{\varphi} \{ \int_A \varphi : 0 \leq \varphi \leq f \text{ e } \varphi \text{ semplice } \} \]
ora per la funzione semplice \[ \varphi = \sum_{i=0}^{n} a_i \chi_{A_i} \]
hai che
\[ \int_A \varphi d \mu = \sum_{i=0}^{n} a_i \mu( A_i \cap A) \]
se \(A\) non è misurabile \( A_i \cap A \) potrebbe non essere misurabile.
Certo, però se prendessi $var phiequiv0$ sicuramente starebbe in quella classe di funzioni, nel senso che almeno una funzione semplice che minora esiste.
Certo, l'insieme delle funzioni semplici che la minorano non è vuoto.
Prendi \( \mu \) la misura di Lebesgue su \( \mathbb{R} \), abbiamo che \(V\) l'insieme di vitali su \([0,1]\) non è misurabile.
Considera \( \chi_V \), è chiaramente una funzione positiva e non è misurabile. Nota che se \(U \subset V \) è misurabile allora necessariamente \( \mu(U)=0 \). Dunque se \( 0 \leq \varphi \leq \chi_V \) è una funzione semplice, è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici su \( U_i \subset V \), dove \(U_i \) è misurabile
\[ \varphi = \sum_i a_i \chi_{U_i} \]
Ma credo che definire l'integrale resta "problematico" indipendentemente dal fatto che l'insieme non sia vuoto. Poiché se vuoi avere una buona approssimazione di \( \chi_V \) con funzioni semplici dovresti avere delle funzioni indicatrici su un certo \( U \subset V \) che si avvicina sempre più a \(V\), e quindi in qualche senso più la tua approssimazione è buona e più \(U\) esaurisce \(V\), quindi ad un certo punto se vuoi un'ottima approssimazione di \( \chi_V \) devi avere necessariamente che la tua funzione indicatrice è su un insieme non misurabile perdendo dunque l'appartenenza all'insieme delle funzioni semplici e misurabili in quanto è indicatrice su un insieme non misurabile.
In modo un po' naif, più la tua approssimazione è buona e più la tua funzione indicatrice è "non misurabile".
Se definisci comunque l'integrale come il supremum delle funzioni misurabili e semplici che la minorano, non penso tu ottieni contraddizioni, ma perdi proprietà del integrale, perdi teoremi, etc.. ad esempio con lo stesso esempio hai
\[ \int \varphi d \mu = 0 \]
pertanto risulta pure che il supremum è zero. E ottieni che
\[ \int \chi_V d\mu = 0 \]
ora
\[ \int \chi_V d \mu = \int_{V} 1 d \mu = 0 \]
Ma allo stesso tempo, siccome \(1\) è una funzione semplice. Ovvero \( 1= \chi_{\mathbb{R}} \) dovresti ottenere
\[ \int_V 1 d \mu = \mu(V \cap \mathbb{R}) = \mu(V) = 0 \]
e pertanto dovresti avere che \( \mu (V) = 0 \)... ma \( \mu (V) \) non è definito.
Credo tu perda pure la linearità, infatti credo tu possa trovare due funzioni non misurabili tale che
\[ \int f d \mu = \int g d \mu = 0 \]
ma tale che
\[ \int (f+ g)d\mu = 1\]
E cose come il teorema della convergenza monotona/dominata non sono validi se \(f_n \) non è misurabile infatti.
Preso \(V\) come prima e definito, per ogni \( q \in \mathbb{Q} \cap [0,1) \), \( V_q =\{ v + q : v \in V \} \), nota \(V_0 = V \), allora
\[ \chi_{[0,1]} = \sum_{q \in \mathbb{Q} \cap [0,1)} \chi_{V_q} \]
se la convergenza monotona valesse per le funzioni misurabili ad esempio dovresti poter permutare l'integrale e la serie seguente
\[ 1 = \int \chi_{[0,1]} d \mu = \int \sum_{q \in \mathbb{Q} \cap [0,1)} \chi_{V_q} d \mu = \sum_{q \in \mathbb{Q} \cap [0,1)} \int \chi_{V_q} d \mu = 0 \]
Credo quindi, che se definisci l'integrale per le funzioni non misurabili, cosa che credo tu possa fare, ottieni cose poco "belle", nel senso che perdi tanti teoremi e tante proprietà utili. Cioè per definire un integrale e poi per tutti i teoremi e proprietà esse valgono solo per le funzioni misurabili allora serve a poco la definizione di un integrale di funzioni non misurabili. Almeno credo, però aspetta pareri più autorevoli.
Prendi \( \mu \) la misura di Lebesgue su \( \mathbb{R} \), abbiamo che \(V\) l'insieme di vitali su \([0,1]\) non è misurabile.
Considera \( \chi_V \), è chiaramente una funzione positiva e non è misurabile. Nota che se \(U \subset V \) è misurabile allora necessariamente \( \mu(U)=0 \). Dunque se \( 0 \leq \varphi \leq \chi_V \) è una funzione semplice, è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici su \( U_i \subset V \), dove \(U_i \) è misurabile
\[ \varphi = \sum_i a_i \chi_{U_i} \]
Ma credo che definire l'integrale resta "problematico" indipendentemente dal fatto che l'insieme non sia vuoto. Poiché se vuoi avere una buona approssimazione di \( \chi_V \) con funzioni semplici dovresti avere delle funzioni indicatrici su un certo \( U \subset V \) che si avvicina sempre più a \(V\), e quindi in qualche senso più la tua approssimazione è buona e più \(U\) esaurisce \(V\), quindi ad un certo punto se vuoi un'ottima approssimazione di \( \chi_V \) devi avere necessariamente che la tua funzione indicatrice è su un insieme non misurabile perdendo dunque l'appartenenza all'insieme delle funzioni semplici e misurabili in quanto è indicatrice su un insieme non misurabile.
In modo un po' naif, più la tua approssimazione è buona e più la tua funzione indicatrice è "non misurabile".
Se definisci comunque l'integrale come il supremum delle funzioni misurabili e semplici che la minorano, non penso tu ottieni contraddizioni, ma perdi proprietà del integrale, perdi teoremi, etc.. ad esempio con lo stesso esempio hai
\[ \int \varphi d \mu = 0 \]
pertanto risulta pure che il supremum è zero. E ottieni che
\[ \int \chi_V d\mu = 0 \]
ora
\[ \int \chi_V d \mu = \int_{V} 1 d \mu = 0 \]
Ma allo stesso tempo, siccome \(1\) è una funzione semplice. Ovvero \( 1= \chi_{\mathbb{R}} \) dovresti ottenere
\[ \int_V 1 d \mu = \mu(V \cap \mathbb{R}) = \mu(V) = 0 \]
e pertanto dovresti avere che \( \mu (V) = 0 \)... ma \( \mu (V) \) non è definito.
Credo tu perda pure la linearità, infatti credo tu possa trovare due funzioni non misurabili tale che
\[ \int f d \mu = \int g d \mu = 0 \]
ma tale che
\[ \int (f+ g)d\mu = 1\]
E cose come il teorema della convergenza monotona/dominata non sono validi se \(f_n \) non è misurabile infatti.
Preso \(V\) come prima e definito, per ogni \( q \in \mathbb{Q} \cap [0,1) \), \( V_q =\{ v + q : v \in V \} \), nota \(V_0 = V \), allora
\[ \chi_{[0,1]} = \sum_{q \in \mathbb{Q} \cap [0,1)} \chi_{V_q} \]
se la convergenza monotona valesse per le funzioni misurabili ad esempio dovresti poter permutare l'integrale e la serie seguente
\[ 1 = \int \chi_{[0,1]} d \mu = \int \sum_{q \in \mathbb{Q} \cap [0,1)} \chi_{V_q} d \mu = \sum_{q \in \mathbb{Q} \cap [0,1)} \int \chi_{V_q} d \mu = 0 \]
Credo quindi, che se definisci l'integrale per le funzioni non misurabili, cosa che credo tu possa fare, ottieni cose poco "belle", nel senso che perdi tanti teoremi e tante proprietà utili. Cioè per definire un integrale e poi per tutti i teoremi e proprietà esse valgono solo per le funzioni misurabili allora serve a poco la definizione di un integrale di funzioni non misurabili. Almeno credo, però aspetta pareri più autorevoli.
Si esatto quello che dice 3m0o, ad esempio sul libro di Evans e Gariepy si definisce “l’integrale superiore”, che è un analogo della misura esterna ed è definito per tutte le funzioni, anche quelle non misurabili. Solo che non è un operatore lineare.
il mio intento era proprio di andare a parare ai vari teoremi: beppo levi,linearità,additività,conv. dominata,ecc...
praticamente la misurabilità è strettamente legata a quei teoremi. Molto interessante
@3m0o: grazie per l'esempio
praticamente la misurabilità è strettamente legata a quei teoremi. Molto interessante
@3m0o: grazie per l'esempio
Ti ringrazio, come sempre 
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