Successioni in $l^∞$
Se $A$ è il sottospazio di \(\displaystyle l^{\infty} \) di successioni fatte di $0$ e $1$, qual è la metrica indotta su $A$?
Devo ammettere che questa domanda mi confonde un po' le idee. Dati \(\displaystyle x=(\xi_j), y=(\eta_j)\in l^{\infty} \) la metrica su \(\displaystyle l^{\infty} \) è definita da \(\displaystyle d(x,y)=\sup|\xi_j-\eta_j| \). La metrica indotta è semplicemente la restrizione sul sottospazio delle successioni di zero e uno; dunque la metrica può restituire al più $1$ se le due successioni sono differenti, o $0$ se sono uguali. Sarebbe quindi sbagliato identificare tale metrica con quella discreta? Non sono sicuro se è questa la risposta che ci si aspetta...
Devo ammettere che questa domanda mi confonde un po' le idee. Dati \(\displaystyle x=(\xi_j), y=(\eta_j)\in l^{\infty} \) la metrica su \(\displaystyle l^{\infty} \) è definita da \(\displaystyle d(x,y)=\sup|\xi_j-\eta_j| \). La metrica indotta è semplicemente la restrizione sul sottospazio delle successioni di zero e uno; dunque la metrica può restituire al più $1$ se le due successioni sono differenti, o $0$ se sono uguali. Sarebbe quindi sbagliato identificare tale metrica con quella discreta? Non sono sicuro se è questa la risposta che ci si aspetta...
Risposte
"Lèo":
[...] La metrica indotta è semplicemente la restrizione sul sottospazio delle successioni di zero e uno [...]
Non è un sottospazio vettoriale (la somma di due successioni siffatte potrebbe non appartenere ad \(A\)).
"Lèo":
[...] Sarebbe quindi sbagliato identificare tale metrica con quella discreta? [...]
In effetti è proprio lei!
Non è detto che l'OP intendesse sottospazio vettoriale, magari era topologico/metrico.
Probabile, ma non certo.
Ho tradotto dall'inglese subspace, penso si intenda sottospazio metrico. Comunque grazie delle risposte.
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