Successione ortonormale totale delle funzioni continue in [0,1]

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C'è una parte della soluzione di questo esercizio che non capisco molto bene.

Sia \( p \in C^1([0,1],\mathbb{R}) \) tale che \( \min_{t \in [0,1] } p(t) > 0 \) e \( \int_0^1 p^{-1}(t)dt = 1 \). Dimostra l'esistenza di una successione \( \{ \mu_n \}_n \subset \mathbb{R} \) e di una successione ortonormata totale \( \{e_n\}_n \) di \( (C([0,1],\mathbb{R}),\left< \cdot,\cdot \right> ) \) tale che
\[ \left\{\begin{matrix}
-(p(s)e_n'(s))'& = &\mu_n e_n(s) \\
e_n(0)= e_n(1)=0& &\\
e_n \in C^2([0,1])& &
\end{matrix}\right. \]
Dimostra inoltre che \( \mu_n \to + \infty \) e discuti il caso particolare \( p \equiv 1 \).

Suggerimento:
- Usare step 1 e step 2 (due esercizi precedenti)
- Usare un corollario del teorema spettarle per gli operatori compatti e simmetrici

Nei preliminari non ho capito due piccolezze.
Nella dimostrazione non capisco l'ultimo passaggio quando dimostra che \( \mu_n \to \infty \). In particolare
\[ \mu_n = \mu_n \parallel e_n \parallel^2 = - \int_0^1 (p(s)e_n'(s) ) e_n(s) ds = \int_0^1 p(s) e_n'(s) e_n'(s) > 0 \]

Preliminari:
Step 1:

Poniamo \[ k(s,t) = \left\{\begin{matrix}
(1-q(s))q(t) & \text{se} & 0 \leq t \leq s \leq 1 \\
(1-q(t))q(s) & \text{se} & 0 \leq s \leq t \leq 1 \\
\end{matrix}\right. \]

dove \( q(t) = \displaystyle{\int_0^t} p^{-1}(s) ds \)

E poniamo l'operatore integrale \( Kf (s) := \displaystyle{\int_0^1} k(s,t) f(t) dt \). Allora abbiamo
per ogni \(u,f \in C([0,1],\mathbb{R}) \) risulta che \( u = Kf \) se e solo se
\[ \left\{\begin{matrix}
-(p(s)u'(s))'& = &f(s) \\
u(0)= u(1)=0& &\\
u \in C^2([0,1])& &
\end{matrix}\right. \]

In questa non ho capito nella direzione \( \Rightarrow \) come deduce che \( u \in C^2 \). Nell'altra invece la usa ??

Se \( u = Kf \) allora
\[ u(s) = \int_{0}^{1} k(s,t) f(t)ds = (1-q(s)) \int_0^s q(t)f(t) dt + q(s) \int_s^1 (1-q(t))f(t) dt \]
Inoltre se \( s= 0\) allora \(q(0)=0 \) e dunque \( u(0) \) analogamente se \( s=1\) allora \(q(s)=1\) e abbiamo \( u(1)=0 \).
Inoltre
\[ u'(s) = -p^{-1}(s) \int_0^s q(t)f(t)dt + p^{-1}(s) \int_s^1 (1-q(t))f(t)dt + (1-q(s))q(s)f(s) - q(s)(1-q(s))f(s) \]
dunque
\[ p(s)u'(s)= - \int_0^s q(t)f(t)dt + \int_s^1 (1-q(t))f(t)dt \]
e dunque
\[ (p(s)u'(s))' = -q(s)f(s)- (1-q(s))f(s) = - f(s) \]

Reciprocamente se \( -(p(s)u'(s))'=f(s) \). Per quello che precede \( v= Kf \) è una soluzione particolare dell'equazione \( - (p(s)v'(s))' = f(s) \). D'altra parte \( v_1 = 1 \) e \(v_2 = q \) sono due soluzioni linearmente indipendenti di \( -(p(s) v'(s ))' = 0 \). Deduciamo dunque che esistono due costanti reali \( c_1,c_2 \) tale che
\[ u(s) = (Kf)(s) + c_1 + c_2 q(s) \]
per ogni \( s \in [0,1] \)
Inoltre da \( u(0)=u(1)=0 \) otteniamo \( c_1 = 0 \) e \( c_2q(1)=0 \). Dunque \( u= Kf \).

Step 2:
Abbiamo che l'insieme
\[D:= \{ u \in C^2([0,1],\mathbb{R}) : u(0) = u(1) = 0 \} \]
è denso in \( (C([0,1],\mathbb{R}), \left< \cdot, \cdot \right> ) \).

Per questo ho due dubbi il primo perché se l'insieme \(A\) (definito nello spoiler) è denso in \(C([0,1],\mathbb{R}) \) implica che \( C^2([0,1],\mathbb{R}) \) è denso in \(C([0,1],\mathbb{R}) \) ??
Il secondo è un dubbio colossale qual'è la norma indotta da \( \left< \cdot, \cdot \right> \) ? È la norma di \( L^2 \) ??

Per semplicità denoto \( C^k = C^k([0,1],\mathbb{R}) \)
Abbiamo grazie al teorema di approssimazione di Weierstrass
\[ A := \{ u \in C^2 : \text{è un polinomio a coefficienti razionali} \} \]
è denso \( C \) e dunque, \( C^2 \) lo è pure. È sufficiente dimostrare che \( D \) è denso in \( C^2 \).
Sia allora \( u \in C^2 \) fissato e per \( \epsilon > 0 \) sia \( \delta \in (0,1/2) \) tale che
\[ \int_0^{\delta} u^2(t)dt + \int_{1-\delta}^{1} u^2(t) < \epsilon^2 \]
definiamo la funzione \( \phi_{\delta} \in C^2([0,1],[0,1]) \) t.c. \( \phi_{\delta} =1 \) su \( [\delta,1-\delta] \) e \( \phi_{\delta} = 0 \) al di fuori di \( [\delta/2, 1- \delta/2]\). Poniamo dunque \( u_{\epsilon} := \phi_{\delta} u \in D \) e segue che
\[ \parallel u_{\epsilon} - u \parallel_2^2 = \int_0^1 ( u_{\epsilon} - u )^2 dt = \int_0^{\delta} ( \phi_{\delta} - 1 )^2u^2 dt + \int_{1-\delta}^{1} ( \phi_{\delta} - 1 )^2u^2 dt \leq \int_0^{\delta} u^2(t)dt + \int_{1-\delta}^{1} u^2(t) < \epsilon^2 \]

Dimostrazione:
Abbiamo chiaramente che \( k(s,t)=k(t,s) \) per ogni \( s,t \in [0,1] \) pertanto \( K\) è simmetrico. Inoltre per un risultato del corso abbiamo che \(K\) è compatto.
Grazie al teorema spettarle per gli operatori simmetrici e compatti abbiamo che esiste una successione (finita o infinita) \( \{ (\lambda_n,e_n) \}_n \subset \mathbb{R} \times C([0,1],\mathbb{R}) \) tale che per ogni \(n\) risulta che \( Ke_n=\lambda_n e_n \) e gli \( \{ e_n\}_n \) è ortonormata.
Inoltre grazie allo step 1 abbiamo che \( R(K) = \{ u \in C^2([0,1],\mathbb{R}) : u(0)=u(1)=0 \} \)
che è denso, grazie allo step 2, in \( C([0,1],\mathbb{R}) \) e grazie al fatto che \(C([0,1],\mathbb{R}) \) è di dimensione infinita abbiamo grazie ad un corollario del teorema spettrale per gli operatori simmetrici e compatti che la successione \( \{(\lambda_n,e_n)\}_n\) è infinita e che \(C([0,1],\mathbb{R}) = \overline{\operatorname{span}\{e_n : n \in \mathbb{N} \} } \). Pertanto abbiamo trovato una successione ortonormata totale. Ma \(\lambda_n \to 0 \).
Effettuando la sostituzione \( \mu_n := \lambda_n^{-1} \) abbiamo dunque
\[ \left\{\begin{matrix}
-(p(s)e_n'(s))'& = &\mu_n e_n(s) \\
e_n(0)= e_n(1)=0& &\\
e_n \in C^2([0,1])& &
\end{matrix}\right. \]
Chiaramente \( \left| \mu_n \right| \to \infty \)

Il passaggio seguente (le prime 2 uguaglianze ) non lo capisco, inoltre non capisco come fa a concludere che l'ultimo integrale è \( >0\).
Inoltre
\[ \mu_n = \mu_n \parallel e_n \parallel^2 = - \int_0^1 (p(s)e_n'(s) ) e_n(s) ds = \int_0^1 p(s) e_n'(s) e_n'(s) > 0 \]


Resta a discutere il caso \(p=1\). In questo caso possiamo risolvere esplicitamente l'equazione \( - f''(s)=\mu f(s) \) con condizione al bordo \( f(0)=f(1)=0\) che ha come soluzione \(e_n(s)= B \sin(n \pi s ) \). Questo è una dimostrazione del fatto ben conosciuto in teoria di Fourier che \( \{ \sqrt{2} \sin(n \pi s) \}_{n \geq 1 } \) è una successione ortonormata totale di \( (C([0,1],\mathbb{R}), \left< \cdot, \cdot \right>) \).

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Sarà che erano le 4 del mattino...

"3m0o":
Nella dimostrazione non capisco l'ultimo passaggio
\[ \mu_n = \mu_n \parallel e_n \parallel^2 = - \int_0^1 (p(s)e_n'(s) ) e_n(s) ds = \int_0^1 p(s) e_n'(s) e_n'(s) > 0 \]

\( e_n \) è di norma \(1\) inoltre \( \mu_n e_n = - (p(s)e_n'(s) )' \) dunque
\[ \mu_n = \mu_n \parallel e_n \parallel^2 = \mu_n \left< e_n , e_n \right> = \int_0^1 \mu_n e_n (s) e_n(s) ds = - \int_0^1 (p(s)e_n'(s) )' e_n(s) ds = \int_0^1 p(s) e_n'(s) e_n'(s) > 0 \]

Mentre per gli altri tutti i polinomi a coefficienti razionali sono \(C^{\infty}\), a maggior ragione \(C^2 \subset C \) dunque se sono densi in \( C \) allora anche \( C^2 \) è denso in \(C \). Ma forse già questo dimostrerebbe che \( D \) è denso in \(C^2\), no?? Senza bisogno di dimostrarlo??

La norma indotta da
\[ \left< f , g \right> = \int f(t) \overline{g(t)} dt \]
(dimenticandoci del coniugato nel caso reale) è
\[ \parallel f \parallel^2 = \int \left| f(t) \right|^2 dt \]
come quella di \( L^2 \) ma non saprei se si puo dire che sono uguali.

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"3m0o":[...] \( C^2([0,1],\mathbb{R}) \) è denso in \(C([0,1],\mathbb{R}) \) ?? [...]

Sì.

Il fatto che \( u \) sia di classe \( C^2 \) salta fuori dalle manipolazioni "algebriche" che fai, mi pare. A priori hai che \( u \) è soltanto derivabile, poi la derivi e scopri invero che anche \( u' \) è derivabile (guarda il RHS). Poi derivi \( p(s) u'(s) \) e ottieni \[ p'(s) u'(s) + p(s) u''(s) = f(s) \ \rightarrow \ u''(s) = p^{-1} (s) (f(s) - p'(s) u'(s)) \in C([0,1]).\]

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Grazie.
Si effettivamente potevo guardare RHS. Comunque a priori \(u\) è solamente continua.

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\( q(t) \) è derivabile (in quanto funzione integrale), bisognerebbe controllare bene \( k \) (che ha quella definizione buffa perché spesso sui nuclei integrali si richiede che \( k(s,t) = k(t,s) \)). Per \( K f \) dovrebbe valere il teorema di differenziazione sotto segno di integrale. Non ho controllato i dettagli ma secondo me è vero.

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Non serve controllare \(k(s,t) \) perché
\[ Kf(s) = (1-q(s) ) \int_0^s q(t) f(t) dt - q(s) \int_1^s (1-q(t) ) f(t) dt \]
ora chiaramente \(q(s) \) è derivabile, così come \( \int_0^s q(t) f(t) dt \) e \( \int_1^s (1-q(t))f(t) dt \), pertanto \( Kf(s) \) essendo combinazione lineare di funzioni derivabili è derivabile.

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"3m0o":Non serve controllare \(k(s,t) \) perché
\[ Kf(s) = (1-q(s) ) \int_0^s q(t) f(t) dt - q(s) \int_1^s (1-q(t) ) f(t) dt \]
ora chiaramente \(q(s) \) è derivabile, così come \( \int_0^s q(t) f(t) dt \) e \( \int_1^s (1-q(t))f(t) dt \), pertanto \( Kf(s) \) essendo combinazione lineare di funzioni derivabili è derivabile.

Beh, sì, è più o meno quello che intendevo con "controllare \(k\)".