Successione in L^p
Ciao 
studiando analisi reale mi sono imbattuto in questo esercizio:
Sia \(n \ge 1, \alpha \in \mathbb{R}\) e \( (f_n) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da: \[f_n(x)= \frac{n^{\alpha}}{(|x|+n)^{\beta}}, \quad \beta >1. \]
Dimostrare che \((f_n) \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) per \(1 \le p \le \infty\) e calcolarne la norma.
Per calcolare la norma so che la formula è \( \Vert f_n \Vert _p = \bigg( \int |f_n|^p d \mu \bigg)^{1/p}\), ma purtroppo mi blocco già prima.
Come base, \( (f_n) \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R}) \iff \int |f_n|^p d \mu < \infty\). Ho provato prendere la strada della maggiorazione, senza successo. Suppongo di dover sfruttare in qualche maniera il fatto che \( \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) sia uno spazio di Banach per \(1 \le p \le \infty\), ma non so come.
Potreste darmi una mano per favore?
Grazie mille!
studiando analisi reale mi sono imbattuto in questo esercizio: Sia \(n \ge 1, \alpha \in \mathbb{R}\) e \( (f_n) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da: \[f_n(x)= \frac{n^{\alpha}}{(|x|+n)^{\beta}}, \quad \beta >1. \]
Dimostrare che \((f_n) \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) per \(1 \le p \le \infty\) e calcolarne la norma.
Per calcolare la norma so che la formula è \( \Vert f_n \Vert _p = \bigg( \int |f_n|^p d \mu \bigg)^{1/p}\), ma purtroppo mi blocco già prima.
Come base, \( (f_n) \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R}) \iff \int |f_n|^p d \mu < \infty\). Ho provato prendere la strada della maggiorazione, senza successo. Suppongo di dover sfruttare in qualche maniera il fatto che \( \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) sia uno spazio di Banach per \(1 \le p \le \infty\), ma non so come.
Potreste darmi una mano per favore?
Grazie mille!
Risposte
Non devi sfruttare proprio niente di avanzato. Si tratta di calcolare un integrale, niente di più. Non ti serve nessuna analisi funzionale.
non mi era neanche passato per la testa perchè conoscendo il professore che ce l'ha dato ero sicuro servisse almeno una metà pagina buona di latex... ma allora che senso ha mettere \(n^{\alpha}\) a gratis 
Grazie per al risposta!
Già che ci sono se non è un problema farei un'altra domanda. Il secondo punto di questo esercizio cita questo:
Data \(g_n(x):=n^{\theta}e^{-n|x|} \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) per ogni \(p \ge 1\) e \(\theta \in \mathbb{R}\), dedurre da ciò e dal primo punto (quello di \(f_n\)) che per \(1 \le p < q \le \infty\) le topologie di \(\mathcal{L}^p\) e \(\mathcal{L}^q\) indotte su \(\mathcal{L}^p \bigcap \mathcal{L}^q\) non si possono confrontare.
Allora, le mie intenzioni sono quelle di ragionare per assurdo: se fossero confrontabili, avrei che che per una successione \((\phi_n) \in \mathcal{L}^p \bigcap \mathcal{L}^q\) si dovrebbe avere \(\lim_{\mathcal{L}^p} \phi_n=0 \Rightarrow \lim_{\mathcal{L}^q} \phi_n=0\).
Dato ciò, non so veramente come arrivare ad assurdo. Che funzione dovrei considerare come \( \phi_n \), avendo \( f_n \) e \( g_n \) definite con prima?
Com'è fatto \(\mathcal{L}^p \bigcap \mathcal{L}^q\)?
So che se \(p
Grazie per al risposta!
Già che ci sono se non è un problema farei un'altra domanda. Il secondo punto di questo esercizio cita questo:
Data \(g_n(x):=n^{\theta}e^{-n|x|} \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) per ogni \(p \ge 1\) e \(\theta \in \mathbb{R}\), dedurre da ciò e dal primo punto (quello di \(f_n\)) che per \(1 \le p < q \le \infty\) le topologie di \(\mathcal{L}^p\) e \(\mathcal{L}^q\) indotte su \(\mathcal{L}^p \bigcap \mathcal{L}^q\) non si possono confrontare.
Allora, le mie intenzioni sono quelle di ragionare per assurdo: se fossero confrontabili, avrei che che per una successione \((\phi_n) \in \mathcal{L}^p \bigcap \mathcal{L}^q\) si dovrebbe avere \(\lim_{\mathcal{L}^p} \phi_n=0 \Rightarrow \lim_{\mathcal{L}^q} \phi_n=0\).
Dato ciò, non so veramente come arrivare ad assurdo. Che funzione dovrei considerare come \( \phi_n \), avendo \( f_n \) e \( g_n \) definite con prima?
Com'è fatto \(\mathcal{L}^p \bigcap \mathcal{L}^q\)?
So che se \(p
Qui sicuramente sono importanti i fattori \(n^\alpha\) e \(n^\theta\) che tanto ti infastidiscono. Devi calcolare la norma \(L^p\) ed \(L^q\) di \(f_n\) e di \(g_n\) e poi vediamo come interpretare il risultato.
Ok, allora, sperando di aver fattoun ragionamento corretto:
\[\Vert f_n \Vert_p = \Vert f_n \Vert_q=0 \\\Vert g_n \Vert_p = \Vert g_n \Vert_q= 0\]
il primo perché la maggiorazione \(\int_{- \infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} dx = 0 \), il secondo perché \( \int_{- \infty}^{+\infty} e^{-n|x| p}dx \to 0\) se \(n,p \to \infty\) .
\[\Vert f_n \Vert_p = \Vert f_n \Vert_q=0 \\\Vert g_n \Vert_p = \Vert g_n \Vert_q= 0\]
il primo perché la maggiorazione \(\int_{- \infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} dx = 0 \), il secondo perché \( \int_{- \infty}^{+\infty} e^{-n|x| p}dx \to 0\) se \(n,p \to \infty\) .
Ma senti mi dispiace non sono proprio in grado di mettermi su questo forum in questi giorni, ma quanto hai scritto è purtroppo totalmente sbagliatissimo
Qual è l'unica funzione con norma nulla?
La funzione nulla, immagino.
"martinazzz":
La funzione nulla, immagino.
Brav.
E questo non ti fa scattare diecimila campanelli d'allarme?
Visto che né le $f_n$ né le $g_n$ sono (quasi ovunque) nulle, come diamine fanno ad avere norma nulla?
"martinazzz":
Ciao
Sia \(n \ge 1, \alpha \in \mathbb{R}\) e \( (f_n) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da: \[f_n(x)= \frac{n^{\alpha}}{(|x|+n)^{\beta}}, \quad \beta >1. \]
Dimostrare che \((f_n) \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) per \(1 \le p \le \infty\) e calcolarne la norma.
Per calcolare la norma so che la formula è \( \Vert f_n \Vert _p = \bigg( \int |f_n|^p d \mu \bigg)^{1/p}\), ma purtroppo mi blocco già prima.
Come base, \( (f_n) \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R}) \iff \int |f_n|^p d \mu < \infty\). Ho provato prendere la strada della maggiorazione, senza successo. Suppongo di dover sfruttare in qualche maniera il fatto che \( \mathcal{L}^p(\mathbb{R})\) sia uno spazio di Banach per \(1 \le p \le \infty\), ma non so come.
Potreste darmi una mano per favore?
Grazie mille!
La fai troppo complicata... Questo è un esercizio di Analisi I.
1. Le funzioni $f_n$ sono continue in $RR$, ergo sono anche misurabili.
2. Per provare che $f_n$ sta in $L^p$ con $1<=p
(A) $int_(-oo)^(+oo) |n^alpha/(|x|+n)^beta|^p"d"x = int_(-oo)^(+oo) n^(alpha p)/(|x|+n)^(beta p)"d"x $
è finito, mentre per provare che $f_n$ sta in $L^oo$ bisogna stabilire se la funzione è limitata.[nota]Dato che ogni $f_n$ è continua e positiva, l'estremo superiore essenziale coincide con l'estremo superiore e, quando esiste, col massimo.[/nota]
3. Il calcolo della norma, in entrambi i casi $p=oo$ e $1<= p < oo$ è un semplice calcolo, sempre da Analisi I.
Grazie per la pazienza nello spiegarmi queste cose, ora riconosco fossero abbastanza banali da risolvere.
Probabilmente, seguendo il trend del professore che ci sta dando sti esercizi, avevo dato per scontato ci fossero da fare conti assurdi e totalmente ignorato le mie conoscenze pregresse di Analisi.
Mi scuso per avervi fatto perdere tempo e di nuovo grazie
Probabilmente, seguendo il trend del professore che ci sta dando sti esercizi, avevo dato per scontato ci fossero da fare conti assurdi e totalmente ignorato le mie conoscenze pregresse di Analisi.
Mi scuso per avervi fatto perdere tempo e di nuovo grazie
Invento un proseguimento dell'esercizio... Così vediamo a cosa servono quegli $n$ "a gratis". 
Stabilire per quali $alpha in RR$ e $beta >1$ la successione $(f_n)$ converge in $L^p(RR)$ (con $1<= p <= oo$) e calcolarne il limite.
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