Studio singolarità al finito e all'infinito di una funzione
Buonasera, ieri ho svolto un esame di analisi complessa all'università e vi era un esercizio su una funzione $$f(z)=\frac{z^3+1}{z+3}$$, in cui si chiedeva di calcolare i punti singolari al finito e all'infinito, determinarne la classe e verificare che valesse la relazione $$\sum_{i_{TOT}}Res[f(z)]=0$$ ovvero che la somma dei residui al finito e all'infinito facesse $0$.
Per determinare quindi il punto singolare al finito, come è ovvio basta porre $z+3=0$ e si trova immediatamente $z=-3$ punto singolare polare in quanto il $\lim_{z\to -3^{\pm}}f(z)=\pm \infty$ con $Res_{z=-3}[f(z)]=-26$.
Per il punto all'infinito io ho posto $\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^2}\cdot f(1/ \xi)$, trovando così $$\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^4}\cdot \frac{1+\xi^3}{1+3\xi}$$ risulta quindi $\xi=0$ punto singolare.
Per lo studio di questo risulta comodo sviluppare in serie di Laurent $\frac{1}{1+3\xi}$ e questo è possibile farlo in quanto la funzione risulta essere analitica in un anello centrato in $\xi=0$.
Ora dallo sviluppo esce fuori il coefficiente $C_{-1}=26$ e da qui la conferma della validità della relazione del terzo punto.
Il professore ha corretto il compito dicendo che il ragionamento fosse sbagliato ma non riesco a capire dove, inoltre chiedo qui in quanto lui non sarà disponibile per un mese per ulteriori delucidazioni. Grazie mille in anticipo
Per determinare quindi il punto singolare al finito, come è ovvio basta porre $z+3=0$ e si trova immediatamente $z=-3$ punto singolare polare in quanto il $\lim_{z\to -3^{\pm}}f(z)=\pm \infty$ con $Res_{z=-3}[f(z)]=-26$.
Per il punto all'infinito io ho posto $\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^2}\cdot f(1/ \xi)$, trovando così $$\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^4}\cdot \frac{1+\xi^3}{1+3\xi}$$ risulta quindi $\xi=0$ punto singolare.
Per lo studio di questo risulta comodo sviluppare in serie di Laurent $\frac{1}{1+3\xi}$ e questo è possibile farlo in quanto la funzione risulta essere analitica in un anello centrato in $\xi=0$.
Ora dallo sviluppo esce fuori il coefficiente $C_{-1}=26$ e da qui la conferma della validità della relazione del terzo punto.
Il professore ha corretto il compito dicendo che il ragionamento fosse sbagliato ma non riesco a capire dove, inoltre chiedo qui in quanto lui non sarà disponibile per un mese per ulteriori delucidazioni. Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao Erick97, benvenut* sul forum!
Un errore che vedo è il seguente: il fattore $\frac{1}{\xi^2}$ che fai intervenire non ci deve essere, perché esso compare solamente nel calcolo del residuo in $z=\infty$ e non nello studio della natura di $z=\infty$ come punto singolare. Per convincertene, ricorda che i residui sono integrali e quindi, quando vuoi determinare il residuo in $z=\infty$, puoi ricondurti a quello in $0$ ponendo $z=1/\xi$. Ma, così facendo, stai sostituendo in un integrale e quindi, per il teorema di sostituzione negli integrali, compare il differenziale $\text{d}z=-\frac{1}{\xi^2}\text{d}\xi$. Diverso è lo studio della natura di un punto singolare: in tal caso, sostituendo $z=1/\xi$, non essendoci alcun integrale non devi far intervenire il differenziale $-\frac{1}{\xi^2}$ perché tu stai semplicemente ponendo $z=1/\xi$ per trasformare lo studio di $z=\infty$ nello studio per $\xi =0$ (infatti, quella trasformazione manda $\infty$ in $0$). Quindi, lo studio di $\xi=0$ (equivalente a quello di $z=\infty$) va fatto per la funzione:
$$\phi(\xi)=\frac{\frac{1}{\xi^3}+1}{\frac{1}{\xi}+3}=\frac{1+\xi^3}{\xi^2(1+3\xi)}$$
Un errore che vedo è il seguente: il fattore $\frac{1}{\xi^2}$ che fai intervenire non ci deve essere, perché esso compare solamente nel calcolo del residuo in $z=\infty$ e non nello studio della natura di $z=\infty$ come punto singolare. Per convincertene, ricorda che i residui sono integrali e quindi, quando vuoi determinare il residuo in $z=\infty$, puoi ricondurti a quello in $0$ ponendo $z=1/\xi$. Ma, così facendo, stai sostituendo in un integrale e quindi, per il teorema di sostituzione negli integrali, compare il differenziale $\text{d}z=-\frac{1}{\xi^2}\text{d}\xi$. Diverso è lo studio della natura di un punto singolare: in tal caso, sostituendo $z=1/\xi$, non essendoci alcun integrale non devi far intervenire il differenziale $-\frac{1}{\xi^2}$ perché tu stai semplicemente ponendo $z=1/\xi$ per trasformare lo studio di $z=\infty$ nello studio per $\xi =0$ (infatti, quella trasformazione manda $\infty$ in $0$). Quindi, lo studio di $\xi=0$ (equivalente a quello di $z=\infty$) va fatto per la funzione:
$$\phi(\xi)=\frac{\frac{1}{\xi^3}+1}{\frac{1}{\xi}+3}=\frac{1+\xi^3}{\xi^2(1+3\xi)}$$
Si, in effetti me ne sono reso conto solo ora dell'errore nell'andare a studiare la funzione $\phi(\xi)$ invede di $f(\frac{1}{\xi}$. Il problema è che questo comporta un errore nella valutazione del particolare punto di singolarità che dovrebbe venire quindi un polo di ordine $2$ a differenza di come è venuto a me $4$. Il mio dubbio è, il calcolo del residuo, fatto correttamente verrebbe comunque 26 come il residuo in $z=-3$ rendendo valida la relazione, giusto?
Grazie mille per la spiegazione più che chiara.
Grazie mille per la spiegazione più che chiara.
@Mephlip: Non ho davvero capito cosa vuoi dire. Se c'è da verificare che la somma dei residui fa zero, quei residui bisogna calcolarli no? E quindi ci vuole il $\xi^{-2}$.
A me veramente sembra che Erick abbia ragione
A me veramente sembra che Erick abbia ragione
@dissonance: Non mi riferivo al calcolo esplicito dei residui, su quello sono d'accordo che dopo la sostituzione $z=\frac{1}{\xi}$ debba comparire anche un fattore $\xi^{-2}$: ma verificare che la somma dei residui è $0$ è solo la seconda richiesta dell'esercizio. C'è anche la richiesta precedente, che richiede di stabilire chi sono i punti singolari al finito e all'infinito e determinarne la natura:
Perciò, dato che la frase riportata dal docente:
è un po' vaga (si parla di ragionamento sbagliato, ma questo potrebbe riferirsi anche solo a parte dell'esercizio e non necessariamente alla parte della verifica di quell'identità), ho letto un po' tutto quello che ha scritto Erick97 e qui:
per come è scritto, significa che Erick97 ha messo in relazione $\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^2}f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ anche allo studio della natura del punto singolare all'infinito e non solo al calcolo del residuo all'infinito (perché fa così l'analisi precedente sul punto $z=-3$, quindi ragionevolmente farà lo stesso per quello successivo e infatti poi dice: "$\xi=0$ punto singolare"); per il calcolo del residuo all'infinito il procedimento è corretto, ma non lo è per la natura del punto all'infinito che, invece, richiede lo studio in $\xi=0$ solamente di $f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ e non di $\frac{1}{\xi^2}f\left(\frac{1}{\xi}\right)$. Infatti, Erick97 stesso conferma poi nella risposta successiva di aver dedotto erroneamente che $z=\infty$ fosse un polo di ordine $4$ e quindi di aver erroneamente inserito $\xi^{-2}$ anche nello studio della natura del punto all'infinito. Perciò, secondo me, il docente potrebbe riferirsi a questo errore. Spero di esser stato più chiaro ora
!
@Erick97: Sì, mi risulta che il residuo in $\xi=0$ di $\frac{1}{\xi^2} f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ sia $26$. Ti torna perché, come detto sopra, per questo invece devi usare $\frac{1}{\xi^2} f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ come avevi fatto.
"Erick97":
vi era un esercizio su una funzione $$f(z)=\frac{z^3+1}{z+3}$$, in cui si chiedeva di calcolare i punti singolari al finito e all'infinito, determinarne la classe e verificare che valesse la relazione $$\sum_{i_{TOT}}Res[f(z)]=0$$ ovvero che la somma dei residui al finito e all'infinito facesse $0$.
Perciò, dato che la frase riportata dal docente:
"Erick97":
Il professore ha corretto il compito dicendo che il ragionamento fosse sbagliato ma non riesco a capire dove
è un po' vaga (si parla di ragionamento sbagliato, ma questo potrebbe riferirsi anche solo a parte dell'esercizio e non necessariamente alla parte della verifica di quell'identità), ho letto un po' tutto quello che ha scritto Erick97 e qui:
"Erick97":
Per determinare quindi il punto singolare al finito, come è ovvio basta porre $z+3=0$ e si trova immediatamente $z=-3$ punto singolare polare in quanto il $\lim_{z\to -3^{\pm}}f(z)=\pm \infty$ con $Res_{z=-3}[f(z)]=-26$.
Per il punto all'infinito io ho posto $\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^2}\cdot f(1/ \xi)$, trovando così $$\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^4}\cdot \frac{1+\xi^3}{1+3\xi}$$ risulta quindi $\xi=0$ punto singolare.
per come è scritto, significa che Erick97 ha messo in relazione $\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^2}f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ anche allo studio della natura del punto singolare all'infinito e non solo al calcolo del residuo all'infinito (perché fa così l'analisi precedente sul punto $z=-3$, quindi ragionevolmente farà lo stesso per quello successivo e infatti poi dice: "$\xi=0$ punto singolare"); per il calcolo del residuo all'infinito il procedimento è corretto, ma non lo è per la natura del punto all'infinito che, invece, richiede lo studio in $\xi=0$ solamente di $f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ e non di $\frac{1}{\xi^2}f\left(\frac{1}{\xi}\right)$. Infatti, Erick97 stesso conferma poi nella risposta successiva di aver dedotto erroneamente che $z=\infty$ fosse un polo di ordine $4$ e quindi di aver erroneamente inserito $\xi^{-2}$ anche nello studio della natura del punto all'infinito. Perciò, secondo me, il docente potrebbe riferirsi a questo errore. Spero di esser stato più chiaro ora
!@Erick97: Sì, mi risulta che il residuo in $\xi=0$ di $\frac{1}{\xi^2} f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ sia $26$. Ti torna perché, come detto sopra, per questo invece devi usare $\frac{1}{\xi^2} f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ come avevi fatto.
Arriva l'autunno e le foglie ingialliscono ...
@alex: ???
Ti sei dato alla poesia ermetica?
@Mephlip: Si, magari è come dici tu ma qui entriamo nell'opinabile e usciamo dal fattuale. Penso proprio che la cosa migliore sia chiedere al professore di Erick che cosa volesse dire, quando tornerà. Magari si è semplicemente sbagliato. Non è una cosa così assurda! Quando correggo compiti, specialmente se sono taaaaaanti, mi capita di sbagliare. Inoltre, a volte gli studenti e le studentesse scrivono in modo molto contorto e bisogna fare un vero sforzo per capire cosa volessero dire.
Ti sei dato alla poesia ermetica?
@Mephlip: Si, magari è come dici tu ma qui entriamo nell'opinabile e usciamo dal fattuale. Penso proprio che la cosa migliore sia chiedere al professore di Erick che cosa volesse dire, quando tornerà. Magari si è semplicemente sbagliato. Non è una cosa così assurda! Quando correggo compiti, specialmente se sono taaaaaanti, mi capita di sbagliare. Inoltre, a volte gli studenti e le studentesse scrivono in modo molto contorto e bisogna fare un vero sforzo per capire cosa volessero dire.
@axpgn: Sto decadendo .
@dissonance: Sì, potrei aver interpretato male io e, in realtà, si sta parlando d'altro e perciò il mio intervento potrebbe non essere d'aiuto. Sono d'accordo che bisognerebbe sentire direttamente il docente; avrei dovuto premettere che la cosa migliore è prendere i pareri qui sul forum come un confronto, ma di lasciare l'ultima parola al docente stesso. La prossima volta lo farò di sicuro, grazie per lo spunto di riflessione! Io non correggo compiti, ma la mia permanenza qui mi ha dato più di qualche esempio di quelle letture contorte.
Quindi, in conclusione, @Erick97 confrontati comunque col docente al suo ritorno per avere un parere che è sicuramente più consono avendo lui visto il tuo compito e avendo lui fatto quella correzione.
.@dissonance: Sì, potrei aver interpretato male io e, in realtà, si sta parlando d'altro e perciò il mio intervento potrebbe non essere d'aiuto. Sono d'accordo che bisognerebbe sentire direttamente il docente; avrei dovuto premettere che la cosa migliore è prendere i pareri qui sul forum come un confronto, ma di lasciare l'ultima parola al docente stesso. La prossima volta lo farò di sicuro, grazie per lo spunto di riflessione! Io non correggo compiti, ma la mia permanenza qui mi ha dato più di qualche esempio di quelle letture contorte
.Quindi, in conclusione, @Erick97 confrontati comunque col docente al suo ritorno per avere un parere che è sicuramente più consono avendo lui visto il tuo compito e avendo lui fatto quella correzione.
Grazie mille a tutti per la disponibilità e la chiarezza delle risposte, al suo ritorno contatterò il professore e controllerò insieme a lui il compito. Una buona serata.
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