Studio funzione complessa

[vespertine95]

Salve a tutti, mi scuso per scrivere così d'improvviso nel vostro forum, ma dopodomani dovrò sostenere un esame impegnativo ed il tempo stringe, per cui ho pensato che chiedere una mano qui sarebbe potuto essere opportuno.

Devo studiare l'analiticità della funzione:

f(z)=e^(-1/z^2)/((z+1)*(z^4-1))

Mi chiedevo come dovessi comportarmi nell'intorno di z=0 e, nel particolare, se la funzione in oggetto presenti o meno una singolarità essenziale in tale punto.

Scusandomi ancora per l'irruenza, spero potrete aiutarmi.
Buona giornata.

[gugo82]

Secondo te?
Cosa hai provato?

[vespertine95]

Per cominciare ho osservato che la funzione non è definita per z=0. Successivamente, visto che una singolarità essenziale presenta infiniti termini dello sviluppo con esponenti negativi, ho provato ad espandere in serie attorno a z=0.

Quindi $1/(1+z)$ e $1/(z^4-1)$ li ho trattati come serie geometriche, mentre $e^(-1/z^2)$ con lo sviluppo di esponenziale. Dal momento che i termini avevano esponenti negativi che andavano fino a meno infinito, ho dedotto si trattasse di una sigolarità essenziale. Tuttavia non sono molto certo del ragionamento, visto che studiando la funzione nell'intorno di 0 mi sembra che essa non diverga.

[gugo82]

La tua funzione è il prodotto di una funzione analitica in $0$, i.e. $1/((1+z)(z^4-1))$, e di una funzione con una singolarità essenziale in $0$, i.e. $\mathbf{e}^{-1/z^2}$.
Quindi essa ha una singolarità essenziale in $0$.