Studio di singolarità
Salve a tutti ragazzi,
mi trovo di fronte ad un esercizio che per quanto facile, mi crea un po' di problemi.
Devo studiare le singolarità della seguente funzione
$1/(sen(z))$
Sicuramente una singolarità è $0$, ma poi come devo continuare?
Preciso che la traccia è proprio questa, non è specificato un particolare dominio della funzione.
Avevo pensato di riscrivere il seno con l'esponenziale ma non so fin quanto possa aiutarmi, in quanto troverei solo $e^(iz)$ diverso da $e^(-iz)$ e non so se è poi la soluzione corretta.
Grazie
mi trovo di fronte ad un esercizio che per quanto facile, mi crea un po' di problemi.
Devo studiare le singolarità della seguente funzione
$1/(sen(z))$
Sicuramente una singolarità è $0$, ma poi come devo continuare?
Preciso che la traccia è proprio questa, non è specificato un particolare dominio della funzione.
Avevo pensato di riscrivere il seno con l'esponenziale ma non so fin quanto possa aiutarmi, in quanto troverei solo $e^(iz)$ diverso da $e^(-iz)$ e non so se è poi la soluzione corretta.
Grazie
Risposte
Le singolarità sono i poli (semplici) cioè i punti dove $\sin(z)=0$ ovvero $z=k\pi$ con $k \in ZZ$.
e se volessi calcolarne il residuo?
Con la formula nota
$\text{Res}_{\sin(z)}(k\pi)=\lim_{z \rightarrow k\pi}(z-k\pi)\frac{1}{\sin(z)}=\lim_{w \rightarrow 0}w\frac{1}{\sin(w+k\pi)}=\lim_{w \rightarrow 0}w\frac{1}{(-1)^k\sin(w)}=(-1)^k$
$\text{Res}_{\sin(z)}(k\pi)=\lim_{z \rightarrow k\pi}(z-k\pi)\frac{1}{\sin(z)}=\lim_{w \rightarrow 0}w\frac{1}{\sin(w+k\pi)}=\lim_{w \rightarrow 0}w\frac{1}{(-1)^k\sin(w)}=(-1)^k$
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