Studio di funzione complessa
Ciao a tutti, ho questa funzione
$ f(z) = 1/z*1/(1-e^(1/z)) $
e queste sono le richieste:
1) studiare gli zeri della funzione $ g(z)=1-e^(1/z) $ e disegnarli sul piano complesso
2) studiare singolarità di f(z)
3) studiare punto all'infinito
4) calcolare i primi tre termini non nulli dello sviluppo in serie di f(z) attorno al punto all'infinito. Stabilire la regione di convergenza della serie attorno all'infinito nel piano complesso di t=1/z e quello di z
5) calcolare l'integrale $ I= oint_(C) f(z)dz $ con C circonferenza unitaria oraria
I punti che ho svolto sono i seguenti:
1) $ z=-i/(2kpi) $ zeri semplici, z=0 punto di accumulazione perchè singolarità essenziale non isolata.
Stanno tutti sull'asse Im(z) e ai due estremi ci sono quelli con valore $ z=+-i/(2pi) $
2) $ z=-i/(2kpi) $ poli semplici, z=0 singolarità essenziale non isolata
3) sono passata a studiare $ f(1/t)=t/(1-e^t) $ per t=0. Sia il numeratore sia il denominatore hanno uno zero di ordine 1 in t=0, corretto? Quindi cosa posso dire del comportamento di f(z) all'infinito? Qui mi blocco
4) Sono partita dalla funzione f(1/t) e ho riscritto l'esponenziale nella sua serie e notato che il primo termine si annulla con l'1 che ha davanti, è l'inizio giusto? se sì riporto i calcoli successivi...
5) Ho pensato che dato che tutte le singolarità trovate nei punti prima sono contenute all'interno della circonferenza posso utilizzare il teorema dei residui, tuttavia (da quello che ho trovato) in z=0 c'è un punto di accumulazione, perciò ho pensato fosse conveniente arrivarci calcolando l'unico altro residuo esterno cioè quello del punto all'infinito. (A questo punto del calcolo mi sono bloccato, ottengo $ oo $ )
Cosa correggere?
Come proseguire?
Vi ringrazio!
$ f(z) = 1/z*1/(1-e^(1/z)) $
e queste sono le richieste:
1) studiare gli zeri della funzione $ g(z)=1-e^(1/z) $ e disegnarli sul piano complesso
2) studiare singolarità di f(z)
3) studiare punto all'infinito
4) calcolare i primi tre termini non nulli dello sviluppo in serie di f(z) attorno al punto all'infinito. Stabilire la regione di convergenza della serie attorno all'infinito nel piano complesso di t=1/z e quello di z
5) calcolare l'integrale $ I= oint_(C) f(z)dz $ con C circonferenza unitaria oraria
I punti che ho svolto sono i seguenti:
1) $ z=-i/(2kpi) $ zeri semplici, z=0 punto di accumulazione perchè singolarità essenziale non isolata.
Stanno tutti sull'asse Im(z) e ai due estremi ci sono quelli con valore $ z=+-i/(2pi) $
2) $ z=-i/(2kpi) $ poli semplici, z=0 singolarità essenziale non isolata
3) sono passata a studiare $ f(1/t)=t/(1-e^t) $ per t=0. Sia il numeratore sia il denominatore hanno uno zero di ordine 1 in t=0, corretto? Quindi cosa posso dire del comportamento di f(z) all'infinito? Qui mi blocco
4) Sono partita dalla funzione f(1/t) e ho riscritto l'esponenziale nella sua serie e notato che il primo termine si annulla con l'1 che ha davanti, è l'inizio giusto? se sì riporto i calcoli successivi...
5) Ho pensato che dato che tutte le singolarità trovate nei punti prima sono contenute all'interno della circonferenza posso utilizzare il teorema dei residui, tuttavia (da quello che ho trovato) in z=0 c'è un punto di accumulazione, perciò ho pensato fosse conveniente arrivarci calcolando l'unico altro residuo esterno cioè quello del punto all'infinito. (A questo punto del calcolo mi sono bloccato, ottengo $ oo $ )
Cosa correggere?
Come proseguire?
Vi ringrazio!
Risposte
Ciao frapp,
Ti rispondo per il punto 4).
La funzione $t/(e^t - 1)$ è la famosa funzione generatrice dei numeri di Bernoulli e si ha:
$t/(e^t - 1) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (B_n t^n)/(n!) $
per $|t| < 2\pi $, sicché si ha:
$t/(1 - e^t) = - \sum_{n = 0}^{+\infty} (B_n t^n)/(n!) $
$f(z) = (1/z)/(1 - e^{1/z}) = - \sum_{n = 0}^{+\infty} (B_n z^{- n})/(n!) = - 1 + 1/(2z) - 1/(12 z^2) + 1/(720z^4) + O(z^{- 5}) $
per $|z| > 1/(2\pi) $
Ovviamente si ha $\lim_{z \to infty} f(z) = - 1 $, cosa che si poteva anche vedere subito coi limiti notevoli:
$\lim_{z \to infty} f(z) = \lim_{z \to infty} (1/z)/(1 - e^{1/z}) = \lim_{t \to 0} t/(1 - e^t) = - \lim_{t \to 0} 1/((e^t - 1)/t) = - 1/1 = - 1 $
Ti rispondo per il punto 4).
La funzione $t/(e^t - 1)$ è la famosa funzione generatrice dei numeri di Bernoulli e si ha:
$t/(e^t - 1) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (B_n t^n)/(n!) $
per $|t| < 2\pi $, sicché si ha:
$t/(1 - e^t) = - \sum_{n = 0}^{+\infty} (B_n t^n)/(n!) $
$f(z) = (1/z)/(1 - e^{1/z}) = - \sum_{n = 0}^{+\infty} (B_n z^{- n})/(n!) = - 1 + 1/(2z) - 1/(12 z^2) + 1/(720z^4) + O(z^{- 5}) $
per $|z| > 1/(2\pi) $
Ovviamente si ha $\lim_{z \to infty} f(z) = - 1 $, cosa che si poteva anche vedere subito coi limiti notevoli:
$\lim_{z \to infty} f(z) = \lim_{z \to infty} (1/z)/(1 - e^{1/z}) = \lim_{t \to 0} t/(1 - e^t) = - \lim_{t \to 0} 1/((e^t - 1)/t) = - 1/1 = - 1 $
Grazie, effettivamente non avevo notato il limite notevole 
errore evitabile
errore evitabile
"pilloeffe":
La funzione $t/(e^t - 1)$ è la famosa funzione generatrice dei numeri di Bernoulli
Ah ah ah
Caro Pilloeffe, quando fai così mi fai venire in mente questo video:
https://youtu.be/-UYgORr5Qhg?si=eAYetVfQR2uiaCls
Come il batterista nel video, pure tu sei troppo qualificato per questo lavoro
Un abbraccio
"dissonance":
https://youtu.be/-UYgORr5Qhg?si=eAYetVfQR2uiaCls
Come il batterista nel video, pure tu sei troppo qualificato per questo lavoro
Grazie dissonance, sempre gentile.
Ricambio l'abbraccio.
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