Studio di funzione a variabile complessa

[Federicie]

Qualche giorno fa mi sono trovato davanti questo esercizio, sul quale nutro ancora dei dubbi

$f(z) = 1/(z (z-1) sin(pi/z))$

in particolare non riesco a capire il comportamento all'infinito, secondo me è regolare, ma provando ad espanderla con il computer mi da una singolarità essenziale... qualcuno puo aiutarmi?

[gugo82]

Il punto $\infty$ mi pare un punto di singolarità eliminabile.

Quando non sei sicuro di come vanno le cose, ti consiglio di fare il cambiamento di variabile $z=1/w$ (inversione circolare del piano complesso), di modo che il punto $\infty$ viene portato in $0$ e puoi sudiarne le caratteristiche sfruttando la funzione ausiliaria $g(w)=f(1/w)$.

[Federicie]

Si esatto, e mi viene $w^2/((1-w)sen(pi w))$
Da cui il limite per w che tende a zero è zero, ed espandendo in serie ottengo solo potenze >0, quindi uno sviluppo in serie di Taylor.
Il problema è che non ho un riscontro con il calcolo di mathematica.. che mi da una serie di Laurent con infinite potenze negative, quindi una singolarità essenziale.

Ps. Nel primo messaggio non era z-2 ma z-1:) lo edito subito:)

[gugo82]

"Federicie":Il problema è che non ho un riscontro con il calcolo di mathematica.. che mi da una serie di Laurent con infinite potenze negative, quindi una singolarità essenziale.

Il problema non è Mathematica, ma il fatto che non ricordi che la parte singolare della serie di Laurent centrata in $\infty$ è quella con le potenze positive di $z$.

[Federicie]

Aaa è vero! Grazie mille!:)