Studio dell'analiticitá rispetto ad un parametro

[Frappi1]

Ciao a tutti,

sto studiando questo esercizio svolto e non capisco il perché del risultato.

Funzione $ f(z)=-(cos(apiz)+b(z^2-1))/(z(z^2-1)) $ della quale discutere l'analiticità nel punto z=0.

Viene riscritta così (immagino perché si sviluppa il coseno attorno a z=0):

$ f(z)=(1-b)/z+(1-((api)^2)/(2!))z+(1-((api)^2)/(2!)+((api)^4)/(4!))z^3+O(z^5) $

perchè al primo termine c'è un z al denominatore mentre al numeratore va via?
Ammetto di avere molta confusione in testa, qualcuno può spiegarmi i passaggi intermedi/il ragionamento che c'è dietro?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Frappi,

"Frappi":Viene riscritta così (immagino perché si sviluppa il coseno attorno a z=0):

$ f(z)=(1-b)/z+(1-((a\pi)^2)/(2!))z+(1-((a\pi)^2)/(2!)+((a\pi)^4)/(4!))z^3+O(z^5) $

Quello che hai scritto è lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $f(z) $ proposta attorno a $z = 0 $, ovvero, con qualche termine in più:

$ f(z) = (1-b)/z+(1-((a\pi)^2)/(2!))z+(1-((a\pi)^2)/(2!)+((a\pi)^4)/(4!))z^3 + (1-((a\pi)^2)/(2!)+((a\pi)^4)/(4!) - (a\pi)^6/(6!))z^5 + $
$ + O(z^7) $

Ovviamente si ha $a_{- 1} = \text{Res}[f(z); z = 0] = 1 - b $, sicché se vuoi l'analiticità è necessario che sia $ a_{- 1} = \text{Res}[f(z); z = 0] = 1 - b = 0 \implies b = 1 $

Si ha:

$ f(z)=-(cos(a\pi z)+b(z^2-1))/(z(z^2-1)) = - b/z + (cos(a\pi z))/z \cdot 1/(1 - z^2) = $

$ = - b/z + (cos(a\pi z))/z \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty} (z^2)^n = - b/z + (cos(a\pi z))/z \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty} z^{2n} = $

$ = - b/z + cos(a\pi z) \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty} z^{2n - 1} $

Sviluppando in serie il coseno...

[Frappi1]

Ok, grazie. Questi passaggi mi sono più chiari.
Continuando la funzione come l'hai riscritta tu, io farei:

$ f(z)=-b/z+sum_(k=0) (-1)^k(apiz)^(2k)/(2k!)*sum_(n=0)z^(2n-1) $

tenendo le due sommatorie separate.
Il primo termine (k=0, n=0) mi viene correttamente, tuttavia quello successivo otterrei gia un termine con $ z^3 $.

[gugo82]

Più semplicemente, la funzione è certamente olomorfa in un "piccolo" intorno circolare forato di $0$, quindi basta chiedersi quando la funzione ha limite finito $0$ ed applicare il teorema sulle singolarità eliminabili.

Andiamo a calcolare per quali valori di $a$ e $b$ esiste finito: lavorando come nel caso reale con gli sviluppi di MacLaurin, troviamo:

$lim_(z -> 0) f(z) = lim_(z -> 0) - (cos(a pi z) + b (z^2 - 1))/(z (z^2 - 1)) = lim_(z ->0) - (1 + "o"(z) - b)/(z + "o"(z)) = lim_(z -> 0) ((b - 1) + "o"(z))/z$

che è finito (e nullo) se e solo se $b = 1$.
Per il teorema citato sopra, la $f$ è olomorfa in tutto un intorno di $0$ solo se $b = 1$.

[pilloeffe]

"Frappi":Il primo termine (k=0, n=0) mi viene correttamente, tuttavia quello successivo otterrei gia un termine con $z^3$

Non ho capito questa tua osservazione: se moltiplichi uno sviluppo in serie che contiene solo le potenze pari di $z$ come quello del coseno per uno sviluppo in serie che contiene solo le potenze dispari di $z$ come $\sum_{n = 0}^{+\infty} z^{2n - 1} $ otterrai ovviamente uno sviluppo in serie di Laurent che risulterà tutto con potenze di $z$ dispari, quindi $z^{-1} $, $z$, $z^3$, $z^5 $, etc. Se non sei convinto prova a farlo...