Stabilire se una funzione è olomorfa intorno ad infinito
Salve, stavo svolgendo questa tipologia di esercizi:
''Classificare le singolarità isolate e stabilire se la funzione è olomorfa intorno al punto infinito e nel caso affermativo classificarlo''; ho diversi dubbi per quanto riguarda la classificazione all'infinito, alcuni li ho svolti e vorrei un'eventuale conferma, altri invece non so come ragionare
1)
$f(z)=tanz$ qui classifico le singolarità del denominatore, avendo $(senz)/cosz$ ottengo $z=pi/2+kpi$ e la mia risposta è che non esiste il limite per z che tende all'infinito e, dato che ho delle singolarità al variare di k (al denominatore), non mi è possibile nemmeno verificare la definizione di olomorfia intorno ad infinito, perciò l'infinito non è classificabile
2)$f(z)=tanz/(2z-3pi)$ Qui già è diverso perchè al numeratore farei le stesse considerazioni del caso di prima ma $z=3/2pi$ annulla anche il coseno al denominatore della tangente, quindi qui comunque non esiste il limite all'infinito, invece intorno ad infinito?
3) $f(z)=zsen(1/(z+1))$
Qui ho per $z=-1$ singolarità essenziale e facendo con de L'Hopital il limite $ lim_(z -> infty) zsen(1/(z+1))=1=f(infty) $, la mia risposta è che
infinito è punto di regolarità
4) $f(z)=1/(sen(1/z))$ qui $z=0$ è una singolarità essenziale per la funzione al denominatore e altra singolarità è $z=1/kpi$ (poli semplici per f)
se faccio $ lim_(z -> infty) 1/(sen(1/z))=infty $, la mia risposta qui è che inifinito è un polo e l'ordine lo stabilisco facendo $ lim_(z -> infty) 1/z(sen(1/z))=1 in C-{0}$
5) $f(z)=z^2tan(1/z)$ facendo lo sviluppo della tangente noto che 0 è una singolarità essenziale per $f(z)$ poi per valutare infinito faccio con de L'Hopital:
$ lim_(z -> infty) z^2tan(1/z)=infty$ anche qui trovo che infinito è un polo ma non so stabilire l'ordine, guardando lo sviuppo direi che è di ordine 1
''Classificare le singolarità isolate e stabilire se la funzione è olomorfa intorno al punto infinito e nel caso affermativo classificarlo''; ho diversi dubbi per quanto riguarda la classificazione all'infinito, alcuni li ho svolti e vorrei un'eventuale conferma, altri invece non so come ragionare
1)
$f(z)=tanz$ qui classifico le singolarità del denominatore, avendo $(senz)/cosz$ ottengo $z=pi/2+kpi$ e la mia risposta è che non esiste il limite per z che tende all'infinito e, dato che ho delle singolarità al variare di k (al denominatore), non mi è possibile nemmeno verificare la definizione di olomorfia intorno ad infinito, perciò l'infinito non è classificabile
2)$f(z)=tanz/(2z-3pi)$ Qui già è diverso perchè al numeratore farei le stesse considerazioni del caso di prima ma $z=3/2pi$ annulla anche il coseno al denominatore della tangente, quindi qui comunque non esiste il limite all'infinito, invece intorno ad infinito?
3) $f(z)=zsen(1/(z+1))$
Qui ho per $z=-1$ singolarità essenziale e facendo con de L'Hopital il limite $ lim_(z -> infty) zsen(1/(z+1))=1=f(infty) $, la mia risposta è che
infinito è punto di regolarità
4) $f(z)=1/(sen(1/z))$ qui $z=0$ è una singolarità essenziale per la funzione al denominatore e altra singolarità è $z=1/kpi$ (poli semplici per f)
se faccio $ lim_(z -> infty) 1/(sen(1/z))=infty $, la mia risposta qui è che inifinito è un polo e l'ordine lo stabilisco facendo $ lim_(z -> infty) 1/z(sen(1/z))=1 in C-{0}$
5) $f(z)=z^2tan(1/z)$ facendo lo sviluppo della tangente noto che 0 è una singolarità essenziale per $f(z)$ poi per valutare infinito faccio con de L'Hopital:
$ lim_(z -> infty) z^2tan(1/z)=infty$ anche qui trovo che infinito è un polo ma non so stabilire l'ordine, guardando lo sviuppo direi che è di ordine 1
Risposte
Studiare $f(z)$ ad infinito equivale a studiare $g(z)=f(1/z)$ in $z=0$. Non è strettamente necessario, ma per me diminuisce il rischio di fare confusione. Detto questo:
1) Corretto, in quanto hai trovato una successione [highlight]illimitata[/highlight] di punti di discontinuità.
Ricorrendo alla funzione $g(z)$ si avrebbe:
$g(z) = \frac{\sin(1/z) }{\cos(1/z)} $
$z_k = \frac{2}{(2k+1) \pi }$ è una successione di punti di discontinuità che tende a $0$ per $k -> + \infty$, dunque $z=0$ non è una singolarità isolata per la $g$, dunque $\infty$ non è una singolarità isolata per la $f$.
2) Si ha esattamente la stessa situazione della funzione al punto 1, ovvero puoi trovare una successione illimitata di punti di discontinuità (o equivalentemente trovare che $z=0$ non è una discontinuità isolata per $g(z) = f(1/z)$).
Qui potrebbe trarre in inganno il fatto che il fattore $2z - 3 \pi$ tende a $\infty$ per $z -> \infty$, creando una forma indeterminata al denominatore. Tuttavia mentre questo fattore [highlight]tende[/highlight] a $\infty$, il termine $\cos z$ [highlight]si annulla[/highlight] nei vari punti $z_k = \pi/2 + k \pi$, così che il loro prodotto è nullo in questi punti.
3) Risultato esatto, però piuttosto di scomodare De l'Hopital farei opportune moltiplicazioni e divisioni per ricondurmi ad un limite notevole:
$\lim_{z->\infty} \frac{z}{z+1} \frac{ \sen(1/(z+1)) }{1/(z+1)} = (\lim_{z->\infty} \frac{z}{z+1} ) * (\lim_{z->\infty} \frac{ \sen(1/(z+1)) }{1/(z+1)} )$
4) Esatto.
5) Questo viene relativamente facile ricorrendo a $g(z)$:
$g(z) = f(1/z) = \frac{1}{z^2} \frac{\sen z}{\cos z} = \frac{\sen z}{z} \frac{1}{z \cos z}$
$\lim_{z -> 0} z g(z) = \lim_{z -> 0} \frac{\sen z}{z} \frac{1}{\cos z} = 1$
Dunque $z=0$ è un polo di ordine 1 per $g$, quindi $f$ ha un polo di ordine 1 all'infinito.
Se invece volessimo lavorare direttamente con la $f$ possiamo riscriverla nel seguente modo:
$f(z) = \frac{\sen(1/z)}{1/z} \frac{1}{(1/z) \cos(1/z)}$
Quindi:
$\lim_{z -> \infty} 1/z f(z) = \lim_{z -> \infty} \frac{\sen(1/z)}{1/z} \frac{1}{\cos(1/z)} = 1$
1) Corretto, in quanto hai trovato una successione [highlight]illimitata[/highlight] di punti di discontinuità.
Ricorrendo alla funzione $g(z)$ si avrebbe:
$g(z) = \frac{\sin(1/z) }{\cos(1/z)} $
$z_k = \frac{2}{(2k+1) \pi }$ è una successione di punti di discontinuità che tende a $0$ per $k -> + \infty$, dunque $z=0$ non è una singolarità isolata per la $g$, dunque $\infty$ non è una singolarità isolata per la $f$.
2) Si ha esattamente la stessa situazione della funzione al punto 1, ovvero puoi trovare una successione illimitata di punti di discontinuità (o equivalentemente trovare che $z=0$ non è una discontinuità isolata per $g(z) = f(1/z)$).
Qui potrebbe trarre in inganno il fatto che il fattore $2z - 3 \pi$ tende a $\infty$ per $z -> \infty$, creando una forma indeterminata al denominatore. Tuttavia mentre questo fattore [highlight]tende[/highlight] a $\infty$, il termine $\cos z$ [highlight]si annulla[/highlight] nei vari punti $z_k = \pi/2 + k \pi$, così che il loro prodotto è nullo in questi punti.
3) Risultato esatto, però piuttosto di scomodare De l'Hopital farei opportune moltiplicazioni e divisioni per ricondurmi ad un limite notevole:
$\lim_{z->\infty} \frac{z}{z+1} \frac{ \sen(1/(z+1)) }{1/(z+1)} = (\lim_{z->\infty} \frac{z}{z+1} ) * (\lim_{z->\infty} \frac{ \sen(1/(z+1)) }{1/(z+1)} )$
4) Esatto.
5) Questo viene relativamente facile ricorrendo a $g(z)$:
$g(z) = f(1/z) = \frac{1}{z^2} \frac{\sen z}{\cos z} = \frac{\sen z}{z} \frac{1}{z \cos z}$
$\lim_{z -> 0} z g(z) = \lim_{z -> 0} \frac{\sen z}{z} \frac{1}{\cos z} = 1$
Dunque $z=0$ è un polo di ordine 1 per $g$, quindi $f$ ha un polo di ordine 1 all'infinito.
Se invece volessimo lavorare direttamente con la $f$ possiamo riscriverla nel seguente modo:
$f(z) = \frac{\sen(1/z)}{1/z} \frac{1}{(1/z) \cos(1/z)}$
Quindi:
$\lim_{z -> \infty} 1/z f(z) = \lim_{z -> \infty} \frac{\sen(1/z)}{1/z} \frac{1}{\cos(1/z)} = 1$
"robbstark":
Studiare $f(z)$ ad infinito equivale a studiare $g(z)=f(1/z)$ in $z=0$.
Avevo notato questo topic però avevo un dubbio: quando si dice "studiare la funzione $f=f(z)$ ad infinito", credo si intenda lo studio di
\[
g(w) =\frac{f\left(\frac1w\right)}{w^2},\qquad w\to 0.\]
Infatti più che la funzione \(f(z)\) quello che si studia è la forma differenziale \(f(z)dz\), che diventa \(-g(w)dw\) con il cambio di variabile \(w=1/z\).
"dissonance":
quando si dice "studiare la funzione $f=f(z)$ ad infinito", credo si intenda lo studio di
\[
g(w) =\frac{f\left(\frac1w\right)}{w^2},\qquad w\to 0.\]
Da quel che ho capito io $\omega^2$ al denominatore entra in gioco nel calcolo del residuo, ma non per stabilire se vi è una singolarità ed eventualmente la sua natura.
http://calvino.polito.it/~lucipan/mater ... ndolfi.pdf
Per gli esercizi proposti mi sembra che questa interpretazione funzioni, nel senso che si ottengono gli stessi risultati studiando la $f(z)$ all'infinito o $g(z) = f(1/z)$ in $0$. Oppure ho preso qualche cantonata?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo