Spettro puntuale e continuo operatore traslazione a sinistra
Ciao a tutti.
Vorrei chiedere chiarimenti su come andare avanti in questo esercizio. Il testo è:
Sia $theta_-$ l’operatore di traslazione a sinistra che agisce in $l_2(CC)$
$theta(x)=(x_2,x_3,x_4,...)$
Determinare lo spettro puntuale $sigma_p$ e continuo $sigma_c$ di $theta_-$
Per quanto riguarda lo spettro puntuale, questo è l'insieme degli autovalori di $theta_-$, ossia quei valori di $lambda$ per cui l'equazione $(lambdaI-theta_-)x=0$ ammette soluzione $x!=0$.
Io ho scritto $lambdax_(2n-1) =x_(2n)$ e $lambdax_(2n) =x_(2n+1)$
se $lambda=0$ allora l'unica soluzione è $x=0$ quindi $lambda=0$ non è autovalore.
Successivamente esplicito $lambda=(x_(2n))/(x_(2n-1))$
Il problema è che da qui non so come continuare. Cosa concludo dall'espressione di $lambda$?
Per quanto riguarda lo spettro continuo, so che $lambdainsigma_c$ se $(lambdaI-theta_-)$ è iniettivo ma non suriettivo. Quindi per determinare $sigma_c$ devo trovare gli elementi dell'insieme $Ran(lambdaI-theta_-)={yinl_2:y=(lambdaI-theta_-)x, x in l_2}$
Come si determina questo insieme?
Grazie!
Vorrei chiedere chiarimenti su come andare avanti in questo esercizio. Il testo è:
Sia $theta_-$ l’operatore di traslazione a sinistra che agisce in $l_2(CC)$
$theta(x)=(x_2,x_3,x_4,...)$
Determinare lo spettro puntuale $sigma_p$ e continuo $sigma_c$ di $theta_-$
Per quanto riguarda lo spettro puntuale, questo è l'insieme degli autovalori di $theta_-$, ossia quei valori di $lambda$ per cui l'equazione $(lambdaI-theta_-)x=0$ ammette soluzione $x!=0$.
Io ho scritto $lambdax_(2n-1) =x_(2n)$ e $lambdax_(2n) =x_(2n+1)$
se $lambda=0$ allora l'unica soluzione è $x=0$ quindi $lambda=0$ non è autovalore.
Successivamente esplicito $lambda=(x_(2n))/(x_(2n-1))$
Il problema è che da qui non so come continuare. Cosa concludo dall'espressione di $lambda$?
Per quanto riguarda lo spettro continuo, so che $lambdainsigma_c$ se $(lambdaI-theta_-)$ è iniettivo ma non suriettivo. Quindi per determinare $sigma_c$ devo trovare gli elementi dell'insieme $Ran(lambdaI-theta_-)={yinl_2:y=(lambdaI-theta_-)x, x in l_2}$
Come si determina questo insieme?
Grazie!
Risposte
Secondo me l'equazione degli autovalori è
\[
(x_2, x_3, \ldots) = \lambda ( x_1 , x_2, \ldots) \quad \iff\quad x_n=\lambda x_{n-1}, \quad \forall n\ge 2,\]
che è diverso da quello che hai scritto tu.
\[
(x_2, x_3, \ldots) = \lambda ( x_1 , x_2, \ldots) \quad \iff\quad x_n=\lambda x_{n-1}, \quad \forall n\ge 2,\]
che è diverso da quello che hai scritto tu.
Ok, grazie.
Quindi è giusto che $lambda=0$ non è autovalore?
Perché da $x_n=lambdax_(n-1)$ deduco che gli autovalori sono $lambda=(x_n)/(x_(n-1))$
Quindi è giusto che $lambda=0$ non è autovalore?
Perché da $x_n=lambdax_(n-1)$ deduco che gli autovalori sono $lambda=(x_n)/(x_(n-1))$
Non si ragiona così. Certo che \(0\) è un autovalore. Calcola
\[
\theta(1,0,0,\ldots)\]
\[
\theta(1,0,0,\ldots)\]
Giusto. Ma come vado avanti allora?
@dissonance: Mi pare che lo OP abbia distinto, senza che fosse realmente utile, i casi indice pari/indice dispari.
Ovviamente, l’equazione degli autovalori corretta (quella riportata da dissonance) si scrive come equazione ricorrente con condizione iniziale arbitraria:
\[
\begin{cases}
x_{n+1} = \lambda x_n \\
x_1=\alpha
\end{cases}
\]
e va risolta esplicitamente per trovare le possibili coppie autovalore/autovetture.
Si vede “a occhio” che le soluzioni della ricorrenza sono del tipo:
\[
x_n = \alpha \lambda^{n-1}
\]
diverse dalla successione nulla se $\alpha!= 0 != lambda$; in più $x$ è in \(\ell^2\) solo se $|lambda |<1$.
Dunque ogni $lambda$ con modulo $<1$ è autovalore ed ha autovettori associati le progressioni geometriche di ragione $lambda$ (dunque gli autovalori sono semplici).
Sempre “a occhio” si vede che $lambda=0$ è autovalore con autovettori associati del tipo $(alpha, 0,0, ..., 0, ...)$.
Per lo spettro continuo, non ti basta calcolare esplicitamente nucleo e rango tenendo $lambda$ come parametro?
Ovviamente, l’equazione degli autovalori corretta (quella riportata da dissonance) si scrive come equazione ricorrente con condizione iniziale arbitraria:
\[
\begin{cases}
x_{n+1} = \lambda x_n \\
x_1=\alpha
\end{cases}
\]
e va risolta esplicitamente per trovare le possibili coppie autovalore/autovetture.
Si vede “a occhio” che le soluzioni della ricorrenza sono del tipo:
\[
x_n = \alpha \lambda^{n-1}
\]
diverse dalla successione nulla se $\alpha!= 0 != lambda$; in più $x$ è in \(\ell^2\) solo se $|lambda |<1$.
Dunque ogni $lambda$ con modulo $<1$ è autovalore ed ha autovettori associati le progressioni geometriche di ragione $lambda$ (dunque gli autovalori sono semplici).
Sempre “a occhio” si vede che $lambda=0$ è autovalore con autovettori associati del tipo $(alpha, 0,0, ..., 0, ...)$.
Per lo spettro continuo, non ti basta calcolare esplicitamente nucleo e rango tenendo $lambda$ come parametro?
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