Spettro continuo $\sigma_c(\hat{A})$
Buongiorno ho un problema con la spiegazione dello spettro continuo per operatori lineari data dal mio professore:
Lui ha detto che $\sigma_c(\hat{A}) = \{\lambda \in \mathbb{C} \quad 1) \ Ker (\hat{A} - \lambda \hat{I}) = \{ \underline{0} \}, \quad 2) \ R(\hat{A} - \lambda \hat{I}) \text{è denso in H)} \}$
dove $1)$ e $2)$ sono le due condizioni che devono essere rispettate per avere lo spettro continuo mentre con $H$ si indica lo spazio di Hilbert e con $R$ si indica lo spettro risolvente che in questo caso ha detto esistere, ma non essere limitato. Innanzitutto potete darmi una definizione di insieme risolvente nel caso infinito dimensionale? Perché il mio professore ha detto che è l'insieme dei punti regolari ed è $= \{ \lambda \in \mathbb{C}: \text{le 3 condizioni seguenti siano soddisfatte} \}$ dove queste tre condizioni sono l'iniettività, la surgettività e la limitatezza dell'insieme risolvente. Invece nel caso finito dimensionale ha detto che queste tre proprietà sono equivalenti tra di loro. Ma se diamo per buona la definizione del mio professore, nel caso dello spettro continuo non dovrebbe esistere l'insieme risolvente perché non è limitato, no?
Poi continua dicendo che in questo caso, tipicamente, l'equazione agli autovalori:
$$\hat{A}\underline{x_\lambda} = \lambda \underline{x}_\lambda$$
ha soluzioni $\underline{x_\lambda} \ne H$ ( se $H = L^2 (\mathbb{R})$ che sono soluzioni limitate, ma non appartenenti a $L^2{\mathbb(R)}$. Allora è possibile costruire una successione $\{ \underline{x}^n}\ \subset H$ t.c. $||(\hat{A} - \lambda) \underline{x}^n||_H \to 0, n \to \infty, \lambda \in \sigma_c(\hat{A})$
Quindi la successione è successione di approssimanti di $\underline{x}\lambda$ convergenti puntualmente a $\underline{x}_\lambda \in H$ (se opportunamente normalizzati).
Quest'ultimo pezzo sulla successione non l'ho proprio capito
Grazie dell'aiuto, spero di essere stata sufficientemente chiara.
Lui ha detto che $\sigma_c(\hat{A}) = \{\lambda \in \mathbb{C} \quad 1) \ Ker (\hat{A} - \lambda \hat{I}) = \{ \underline{0} \}, \quad 2) \ R(\hat{A} - \lambda \hat{I}) \text{è denso in H)} \}$
dove $1)$ e $2)$ sono le due condizioni che devono essere rispettate per avere lo spettro continuo mentre con $H$ si indica lo spazio di Hilbert e con $R$ si indica lo spettro risolvente che in questo caso ha detto esistere, ma non essere limitato. Innanzitutto potete darmi una definizione di insieme risolvente nel caso infinito dimensionale? Perché il mio professore ha detto che è l'insieme dei punti regolari ed è $= \{ \lambda \in \mathbb{C}: \text{le 3 condizioni seguenti siano soddisfatte} \}$ dove queste tre condizioni sono l'iniettività, la surgettività e la limitatezza dell'insieme risolvente. Invece nel caso finito dimensionale ha detto che queste tre proprietà sono equivalenti tra di loro. Ma se diamo per buona la definizione del mio professore, nel caso dello spettro continuo non dovrebbe esistere l'insieme risolvente perché non è limitato, no?
Poi continua dicendo che in questo caso, tipicamente, l'equazione agli autovalori:
$$\hat{A}\underline{x_\lambda} = \lambda \underline{x}_\lambda$$
ha soluzioni $\underline{x_\lambda} \ne H$ ( se $H = L^2 (\mathbb{R})$ che sono soluzioni limitate, ma non appartenenti a $L^2{\mathbb(R)}$. Allora è possibile costruire una successione $\{ \underline{x}^n}\ \subset H$ t.c. $||(\hat{A} - \lambda) \underline{x}^n||_H \to 0, n \to \infty, \lambda \in \sigma_c(\hat{A})$
Quindi la successione è successione di approssimanti di $\underline{x}\lambda$ convergenti puntualmente a $\underline{x}_\lambda \in H$ (se opportunamente normalizzati).
Quest'ultimo pezzo sulla successione non l'ho proprio capito
Grazie dell'aiuto, spero di essere stata sufficientemente chiara.
Risposte
Purtroppo non è spiegato molto bene, non sorprende che tu non abbia capito. Studi fisica?
Lo "spettro risolvente" non esiste. Esiste l'*operatore risolvente*, ed è quello che può essere o non essere limitato. In ogni caso il concetto di fondo è scollegato da questi tecnicismi.
Nella nostra intuizione i valori spettrali sono gli autovalori delle matrici. Nel caso infinito-dimensionale, però, non ci sono solo gli autovalori, perché esistono altri tipi di spettro come ad esempio quello di questo post. Per questi tipi di spettro, l'equazione agli autovalori non ha, tecnicamente, una soluzione. Ma in realtà si, ce l'ha, in un modo generalizzato. Prendi ad esempio la derivata seconda $\frac{d^2}{dx^2}$, che è definita su $H^2(\mathbb R)\subset L^2(\mathbb R)$. L'equazione agli autovalori
\[
\psi''=\lambda \psi, \]
strettamente parlando, non ha soluzioni, perché le soluzioni sono
\[
\psi(x)=A\cos(\sqrt{-\lambda}x)+B\sin(\sqrt{-\lambda}x), \]
per \(A, B\in \mathbb C\), posto che \(\lambda\le 0\). Queste funzioni non sono mai in \(L^2(\mathbb R)\), tranne nel caso banale \(A=B=0\). Tuttavia, è chiaro che \(\lambda\le 0\) è un valore spettrale. Le autofunzioni ci sono, ma non sono nello spazio di Hilbert "giusto", esistono solo come limite di opportune successioni.
Spero che questo esempio chiarisca un po' la situazione.
Lo "spettro risolvente" non esiste. Esiste l'*operatore risolvente*, ed è quello che può essere o non essere limitato. In ogni caso il concetto di fondo è scollegato da questi tecnicismi.
Nella nostra intuizione i valori spettrali sono gli autovalori delle matrici. Nel caso infinito-dimensionale, però, non ci sono solo gli autovalori, perché esistono altri tipi di spettro come ad esempio quello di questo post. Per questi tipi di spettro, l'equazione agli autovalori non ha, tecnicamente, una soluzione. Ma in realtà si, ce l'ha, in un modo generalizzato. Prendi ad esempio la derivata seconda $\frac{d^2}{dx^2}$, che è definita su $H^2(\mathbb R)\subset L^2(\mathbb R)$. L'equazione agli autovalori
\[
\psi''=\lambda \psi, \]
strettamente parlando, non ha soluzioni, perché le soluzioni sono
\[
\psi(x)=A\cos(\sqrt{-\lambda}x)+B\sin(\sqrt{-\lambda}x), \]
per \(A, B\in \mathbb C\), posto che \(\lambda\le 0\). Queste funzioni non sono mai in \(L^2(\mathbb R)\), tranne nel caso banale \(A=B=0\). Tuttavia, è chiaro che \(\lambda\le 0\) è un valore spettrale. Le autofunzioni ci sono, ma non sono nello spazio di Hilbert "giusto", esistono solo come limite di opportune successioni.
Spero che questo esempio chiarisca un po' la situazione.
Grazie mille della risposta. Ci sto pensando ancora perché ancora non mi è chiaro al 100% tutto quanto il discorso. Però grazie mille dell'esempio 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo