Spazio totalmente limitato
Posto in questa sezione dato che questo dubbio mi è venuto studiando il lemma di Riesz e la sfera unitaria.
Supponiamo di avere uno spazio metrico $(X,d)$, voglio dimostrare che lo spazio metrico non è totalmente limitato.
Se dimostro che, fissando $r=1$ per esempio, per ogni $n in NN$ esistono $n$ palle di raggio $r$ disgiunte che non ricoprono $X$. Posso concludere che lo spazio non è totalmente limitato? E se si, come posso motivare l'analogia? Il dubbio è che magari uno potrebbe prendere palle di raggio $r$ centrate in punti diversi e teoricamente potrebbe riempire lo spazio $X$ in modo più furba? (Anche se intuitivamente mi sembra assurdo, la disuguaglianza triangolare credo me lo impedisca). Sperando di essere stato chiaro,gradirei se qualcuno mi dimostrasse l'analogia o mi desse un controesempio.
Supponiamo di avere uno spazio metrico $(X,d)$, voglio dimostrare che lo spazio metrico non è totalmente limitato.
Se dimostro che, fissando $r=1$ per esempio, per ogni $n in NN$ esistono $n$ palle di raggio $r$ disgiunte che non ricoprono $X$. Posso concludere che lo spazio non è totalmente limitato? E se si, come posso motivare l'analogia? Il dubbio è che magari uno potrebbe prendere palle di raggio $r$ centrate in punti diversi e teoricamente potrebbe riempire lo spazio $X$ in modo più furba? (Anche se intuitivamente mi sembra assurdo, la disuguaglianza triangolare credo me lo impedisca). Sperando di essere stato chiaro,gradirei se qualcuno mi dimostrasse l'analogia o mi desse un controesempio.
Risposte
La domanda è interessante, perché la nostra intuizione tridimensionale ci dice che uno spazio come tu dici non può essere neanche limitato, figuriamoci totalmente limitato. Ma la nostra intuizione tridimensionale spesso fallisce in dimensione infinita.
In dimensione finita tutto funziona per il motivo seguente: sia \(A\subset \mathbb R^d\) un sottoinsieme con la proprietà che dici. Allora \(A\) non è limitato. Infatti, supponiamo per assurdo che \(A\subset B(0, R)= \{ x\in \mathbb R^d\ :\ |x|
n C_d \le R^d C_d, \]
che non può essere verificata per \(n>R^d\).
Questo ragionamento non si può generalizzare a spazi di dimensione infinita, perché non è definita una nozione di "volume" su tali spazi. Ad esempio, la palla di raggio \(3\) in \(\ell^2\) contiene infinite palle di raggio \(1\) ed è un insieme limitato non totalmente limitato.
Conclusione: Non so rispondere alla tua domanda.
In dimensione finita tutto funziona per il motivo seguente: sia \(A\subset \mathbb R^d\) un sottoinsieme con la proprietà che dici. Allora \(A\) non è limitato. Infatti, supponiamo per assurdo che \(A\subset B(0, R)= \{ x\in \mathbb R^d\ :\ |x|
n C_d \le R^d C_d, \]
che non può essere verificata per \(n>R^d\).
Questo ragionamento non si può generalizzare a spazi di dimensione infinita, perché non è definita una nozione di "volume" su tali spazi. Ad esempio, la palla di raggio \(3\) in \(\ell^2\) contiene infinite palle di raggio \(1\) ed è un insieme limitato non totalmente limitato.
Conclusione: Non so rispondere alla tua domanda.
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