Spazi vettoriali localmente convessi
$ S(\mathbb{R})=\{f \in C^{\infty}(\mathbb{R}): \rho_{p,q}<\infty \forall p,q \in \mathbb{N} \cup \{0\}\} $Salve, sto iniziando a studiare ora il concetto di spazio vettoriale localmente convesso e devo risolvere il seguente problema:
"Dato l'insieme $S(\mathbb{R})=\{f \in C^{\infty}(\mathbb{R}): \rho_{p,q}<\infty \forall p,q \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$ dove $\rho_{p,q}$= sup$_{x \in \mathbb{R}} |x^p f^{(q)}(x)|$ dimostrare che si tratta di uno SVLC, dire se e' di Frechet e se i chiusi e limitati sono compatti."
Io ho ragionato in questo modo. Ho dimostrare che $\rho_{p,q}$ e' una famiglia di seminorme che separano i punti. Credo che questo basti a dimostrare che sono in presenza di uno SVLC perche' la topologia sugli SVLC e' quella di Housdorff. Percio', dal momento che vale che "dato uno spazio vettoriale X e una famiglia di seminorme la topologia generata e' di Housdorff se e solo se queste separano i punti" dovrei aver finito. Giusto?
Adesso devo dire se questo e' di Frechet ossia se e' anche completo e metrizzabile e qui arrivano i problemi. Per la completezza so che dovrei mostrare che ogni successione di Cauchy e' convergente ad un elemento dello spazio mentre per far vedere che e' metrizzabile basterebbe trovare una famiglia numerabile di seminorme che mi genera tutto lo spazio. Ma come fare?
Infine per dire se i chiusi e limitati sono compatti dovrei prendere estrarre, da una successione, una sottosuccessione convergente poiche' in caso di spazi metrizzabili questo coincide con la compattezza e so che in qualche modo mi puo' essere utile il teorema di Ascoli-Arzela ma non so come procedere. Poi, se non fosse metrizzabile?
"Dato l'insieme $S(\mathbb{R})=\{f \in C^{\infty}(\mathbb{R}): \rho_{p,q}<\infty \forall p,q \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$ dove $\rho_{p,q}$= sup$_{x \in \mathbb{R}} |x^p f^{(q)}(x)|$ dimostrare che si tratta di uno SVLC, dire se e' di Frechet e se i chiusi e limitati sono compatti."
Io ho ragionato in questo modo. Ho dimostrare che $\rho_{p,q}$ e' una famiglia di seminorme che separano i punti. Credo che questo basti a dimostrare che sono in presenza di uno SVLC perche' la topologia sugli SVLC e' quella di Housdorff. Percio', dal momento che vale che "dato uno spazio vettoriale X e una famiglia di seminorme la topologia generata e' di Housdorff se e solo se queste separano i punti" dovrei aver finito. Giusto?
Adesso devo dire se questo e' di Frechet ossia se e' anche completo e metrizzabile e qui arrivano i problemi. Per la completezza so che dovrei mostrare che ogni successione di Cauchy e' convergente ad un elemento dello spazio mentre per far vedere che e' metrizzabile basterebbe trovare una famiglia numerabile di seminorme che mi genera tutto lo spazio. Ma come fare?
Infine per dire se i chiusi e limitati sono compatti dovrei prendere estrarre, da una successione, una sottosuccessione convergente poiche' in caso di spazi metrizzabili questo coincide con la compattezza e so che in qualche modo mi puo' essere utile il teorema di Ascoli-Arzela ma non so come procedere. Poi, se non fosse metrizzabile?
Risposte
Okay, ho dimostrato che e' di Frechet, ora il problema resta stabilire se i chiusi e limitati sono compatti. Dovrei mostrare che per ogni successione c'e' una sottosuccessione convergente, ma non ho idee su come muovermi. Qualcuno puo' darmi una mano?
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