Spazi olomorficamente equivalenti
Vi pongo una domanda riguardante il seguente esercizio che ho tratto da un libro di un famoso autore.
Sia "p" un valore complesso i cui coefficienti della parte reale e immaginaria sono diversi da "0".
Si consideri la regione del piano complesso, limitata dal parallelogramma con i vertici "0, 1, 1 + p, p".
Adesso dobbiamo immaginare che i lati opposti del parallelogramma siano incollati assieme; in altre parole il lato da "0" a "1" è incollato a quello da "p" a "1 + p", mentre quello da "0" a "p" è incollato a quello da "1" a "1 + p". La superficie di Riemann risultante è davvero topologicamente un toro.
Succede ora che per la maggior parte dei valori di "p" le superfici risultanti non sono equivalenti, ossia non è possibile trasformare l’una nell’altra mediante un’applicazione olomorfa.
Vi sono tuttavia certe equivalenze discrete, come quelle date dalla sostituzione di "p" con "1 + p", con "– p" o con "1/p".
Dimostrate che queste sostituzioni producono spazi olomorficamente equivalenti. Trovate tutti i valori speciali di "p", dove queste equivalenze conducono ad addizionali simmetrie discrete della superficie di Riemann.
Io ho compreso il significato dell'espressione "spazi olomorficamente equivalenti".
La domanda è la seguente.
Qual'è il significato dell'aggettivo "discrete" presente nelle espressioni "equivalenze discrete" e "simmetrie discrete"?
Sia "p" un valore complesso i cui coefficienti della parte reale e immaginaria sono diversi da "0".
Si consideri la regione del piano complesso, limitata dal parallelogramma con i vertici "0, 1, 1 + p, p".
Adesso dobbiamo immaginare che i lati opposti del parallelogramma siano incollati assieme; in altre parole il lato da "0" a "1" è incollato a quello da "p" a "1 + p", mentre quello da "0" a "p" è incollato a quello da "1" a "1 + p". La superficie di Riemann risultante è davvero topologicamente un toro.
Succede ora che per la maggior parte dei valori di "p" le superfici risultanti non sono equivalenti, ossia non è possibile trasformare l’una nell’altra mediante un’applicazione olomorfa.
Vi sono tuttavia certe equivalenze discrete, come quelle date dalla sostituzione di "p" con "1 + p", con "– p" o con "1/p".
Dimostrate che queste sostituzioni producono spazi olomorficamente equivalenti. Trovate tutti i valori speciali di "p", dove queste equivalenze conducono ad addizionali simmetrie discrete della superficie di Riemann.
Io ho compreso il significato dell'espressione "spazi olomorficamente equivalenti".
La domanda è la seguente.
Qual'è il significato dell'aggettivo "discrete" presente nelle espressioni "equivalenze discrete" e "simmetrie discrete"?
Risposte
Non mi pare che citare i testi da cui sono presi gli esercizi sia diventato reato... Potresti postare il riferimento?
Si tratta del libro "La strada che porta alla realtà" di Roger Penrose.
Capitolo 8
Paragrafo 8.4
Esercizio 8.8
Faccio la seguente correzione al precedente mio messaggio.
L'ipotesi secondo la quale i coefficienti della parte reale e immaginaria di "p" sono diversi da "0" l'ho fatta io deducendola dal paragrafo 8.4.
Però riflettendo sulla formulazione dell'esercizio, fatta da Penrose, mi sembra di capire che "p" può assumere tutti i valori complessi il cui coefficiente della parte immaginaria è diverso da "0" e che, quindi, il coefficiente della parte reale di "p" può anche essere nullo.
Non è un problema se non viene individuata una risposta attinente al significato dell'aggettivo "discrete".
Capitolo 8
Paragrafo 8.4
Esercizio 8.8
Faccio la seguente correzione al precedente mio messaggio.
L'ipotesi secondo la quale i coefficienti della parte reale e immaginaria di "p" sono diversi da "0" l'ho fatta io deducendola dal paragrafo 8.4.
Però riflettendo sulla formulazione dell'esercizio, fatta da Penrose, mi sembra di capire che "p" può assumere tutti i valori complessi il cui coefficiente della parte immaginaria è diverso da "0" e che, quindi, il coefficiente della parte reale di "p" può anche essere nullo.
Non è un problema se non viene individuata una risposta attinente al significato dell'aggettivo "discrete".
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