Spazi metrici completi

anto_zoolander
Ciao garazzi :-D

stavo continuando a studiare un po' per i fatti miei teoria della misura e mi sono imbattuto in un argomento fatto dalla prof sulle successioni di funzioni misurabili, però solo per successioni di funzioni $f:RR->RR$.
La affermazione incriminata è la seguente:

sia $f_n:RR->RR$ una successione di funzioni misurabili.
Se $f_n ->g$ puntualmente, allora $g$ è misurabile


L'affermazione è anche causa della seguente domanda(a me stesso): presi $(X,F)$ e $(Y,G)$ due spazi misurabili con $X,Y$ non vuoti e sia $Y^X$ l'insieme delle funzioni $f:Y->X$. Se avessi a che fare con una successione di funzioni ${f_n}_(n in NN)subseteqY^X$ come faccio a parlare di convergenza?

Ho pensato subito agli spazi topologici e vi chiedo: ha senso parlare di ste cose in strutture, passatemi il termine, solo topologiche?

poi ho continuato pensando che un pelo sopra ci stanno gli spazi metrici e scribacchiando ho tirato fuori idea(ovviamente niente di nuovo, ma lo espongo giusto per chiedervi indirettamente se la cosa sia utile).

siano $X,Y$ insiemi non vuoti e $(Y,d_Y)$ spazio metrico, allora la funzione:

$d(f,g):=s u p {d_Y(f(x),g(x)) : x in X}$

induce una metrica su $Y^X$


per arrivare a: