Spazi $l^p (\mathbb{N})$ e densità
Salve a tutti,
sto provando a dimostrare che se $p,q \in [1,+\infty],$ $p \leq q $ e $q < +\infty $ allora $l^p (\mathbb {N}) $ è denso in $l^q(\mathbb {N}) $.
Mi servirebbe un suggerimento per avviare la dimostrazione. Per ogni successione di $l^q $ l'idea è quella di trovare una successione di $l^p$ arbitrariamente vicina...
Vi ringrazio!
sto provando a dimostrare che se $p,q \in [1,+\infty],$ $p \leq q $ e $q < +\infty $ allora $l^p (\mathbb {N}) $ è denso in $l^q(\mathbb {N}) $.
Mi servirebbe un suggerimento per avviare la dimostrazione. Per ogni successione di $l^q $ l'idea è quella di trovare una successione di $l^p$ arbitrariamente vicina...
Vi ringrazio!
Risposte
Fai cosi': per \( q < \infty \) considera l'insieme \[d^q (\mathbb{N}) = \{ ( a_n )_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^q (\mathbb{N}) \, : \, a_i \ne 0 \text{ per finiti } i \}. \] Ovviamente \( d^q (\mathbb{N} ) \subset \ell^p (\mathbb{N}) \) e inoltre \(\overline{d^q (\mathbb{N} )}= \ell^q (\mathbb{N}) \) (lascio provare a te quest'ultima affermazione).
Innanzitutto, poiché \(\displaystyle x \in \ell^q(\mathbb{N}) \), per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) esiste \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle \sum_{i=n+1}^{\infty} |x_i|^q < \epsilon^q \) essendo questa la "coda" di una serie convergente. La successione \(\displaystyle y=(x_0,\dots,x_n,0,\dots) \) chiaramente appartiene a \(\displaystyle \ell^p(\mathbb{N}) \). Inoltre si ha
$$ ||x-y||_{\ell^q(\mathbb{N})}= ( \sum_{i=0}^{\infty} |x_i-y_i|^q)^\frac{1}{q}= (\sum_{i=n+1}^{\infty} |x_i|^q)^\frac{1}{q} < \epsilon.$$
Per ogni \(\displaystyle x \in \ell^q(\mathbb{N}) \) ho trovato \(\displaystyle y \in \ell^p(\mathbb{N}) \) tale che \(\displaystyle ||x-y||<\epsilon \) per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \), che è la tesi.
$$ ||x-y||_{\ell^q(\mathbb{N})}= ( \sum_{i=0}^{\infty} |x_i-y_i|^q)^\frac{1}{q}= (\sum_{i=n+1}^{\infty} |x_i|^q)^\frac{1}{q} < \epsilon.$$
Per ogni \(\displaystyle x \in \ell^q(\mathbb{N}) \) ho trovato \(\displaystyle y \in \ell^p(\mathbb{N}) \) tale che \(\displaystyle ||x-y||<\epsilon \) per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \), che è la tesi.
Molto bene.
Il fatto che si richieda $p \leq q$ mi serve solo a dimostrare che \(\displaystyle \ell^p(\mathbb{N}) \subseteq \ell^q(\mathbb{N}) \) visto che poi si lavora con successioni con un numero finito di termini diversi da $0$, o sbaglio?
"mombs":
Il fatto che si richieda $p \leq q$ mi serve solo a dimostrare che \(\displaystyle \ell^p(\mathbb{N}) \subseteq \ell^q(\mathbb{N}) \) [...]
Non so se ho capito la domanda, ma se \(p> q\) non ha nemmeno piu' senso porsi la domanda visto che quell'inclusione non vale in generale (pensa alla serie armonica generalizzata con \(p>1\) e \(q=1\))
Sì, sì, hai capito che cosa intendevo, grazie di nuovo!
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