Spazi $L^p$, disuguaglianza di Hölder

[mombs]

Salve a tutti. Sto provando a dimostrare questo fatto: siano $\mu$ una misura esterna su $\mathbb{R}^n$, $E$ un sottoinsieme misurabile di $\mathbb{R}^n$ con $\mu(E) < +\infty $ e $1 \leq p \leq +\infty $. Se $f \in L^p (E)$ e $g \in L^{p'}(E) $ allora si ha che almeno una funzione tra $f^2$ e $g^2$ appartiene a $L^1 (E)$. Ho provato ad applicare la disuaglianza di Hölder in vari modi ma senza successo...

[otta96]

"mombs":almeno una funzione tra $f^2$ e $g^2$ appartiene a $L^1 (E)$

Che significa che almeno una tra $f$ e $g$ appartiene a $L^2(E)$, e che mi sai dire sulla varie inclusioni tra gli $L^p(E)$ su uno spazio di misura finita? E poi possono essere sia $p$ che $p'$ minori di $2$?

[mombs]

Allora... che almeno una funzione tra le funzioni $f^2$ e $g^2$ sta in $L^2$ significa che non può accadere che entrambe le funzioni non stiano in $L^2$. Per quanto riguarda le inclusioni degli spazi $L^p$ su spazi di misura finita, si ha che $L^q \sube L^p$ per ogni $q \geq p$. Chiaramente se $p$ è minore di $2$ il suo esponente coniugato è maggiore di $2$.

[otta96]

"mombs":Allora... che almeno una funzione tra le funzioni $f^2$ e $g^2$ sta in $L^2$ significa che non può accadere che entrambe le funzioni non stiano in $L^2$.

Questo è vero, ma bada bene che ora non si sta parlando più di $f^2$ e $g^2$, ma di $f$ e $g$, per le quali ovviamente vale lo stesso discorso.

Per quanto riguarda le inclusioni degli spazi $L^p$ su spazi di misura finita, si ha che $L^q \sube L^p$ per ogni $q \geq p$. Chiaramente se $p$ è minore di $2$ il suo esponente coniugato è maggiore di $2$.

Hai detto tutte cose giuste (e quelle che intendevo io), non ti rimane che combinarle in un ragionamento che ti porta alla soluzione dell'esercizio.

[mombs]

Se per assurdo sia $f$ che $g$ non fossero elementi di $L^2(E)$, allora non sarebbero nemmeno elementi di $L^p(E)$ per ogni $p \geq 2$ per quanto abbiamo detto sulle inclusioni degli spazi $L^p$. Ne segue che $p$ e $p'$ devono essere strettamente minori di $2$, un assurdo dal momento che se $p$ è minore di $2$, $p'$ è maggiore di $2$ e viceversa. Così dovrebbe funzionare, grazie mille!

[otta96]

Prego