Spazi l^p

[GuidoFretti1]

buongiorno, avrei bisogno di capire dei punti riguardanti la soluzione di questo esercizio:

sia $1<=p<+infty$ e sia $T:l^p -> l^p$ definita da $T(x)(n)=1/nx(n+1)$
sia assuma che $T$ è compatto, iniettivo e $||T||=1$

primo dubbio: la soluzione dice: T è suriettiva? ma non ho capito come fare: suggerisce di trovare una successione di vettori ma non ho veramente idea su come fare.

sia poi $(l^p)^** = l^q$ con $1/p + 1/q=1$ e sia $T^**s(n)={(0,if n=1),(1/(n-1)s(n-1)),if n>1):}$

secondo dubbio: perchè $||T^**||=||T||=1$?

terzo dubbio: perchè se $T$ è compatto anche $T^**$ è compatto?

quarto dubbio: la soluzione infine dice che $T**$ non è suriettivo perchè $Im(T^**)={ s in l^p | s(1)=0$ è un sottospazio chiuso di $l^p$

qui non ho capito perchè in primis $Im(T^**)$ è cosi definita, per secondo perchè è un sottospazio chiuso di $l^p$ e terzo perchè è sufficiente cioò per dire che $T**$ non è suriettivo.

grazie mille a chi mi darà una mano, sono veramente in difficoltà

[Mathita]

Ciao Guido, purtroppo non so aiutarti in questo momento. Intervengo solo per darti un consiglio di carattere espositivo. Se cerchi qualcuno che possa darti una mano, devi fare di tutto affinché la persona che legge sia in grado di interpretare immediatamente il tuo problema.

Se non curi maggiormente il latex, il lettore si disinteressa del problema ancor prima di ragionarci su. Aggiungici pure che gli argomenti trattati non sono poi così elementari e richiedono uno sforzo mentale maggiore.

[GuidoFretti1]

Ciao Mathita, ho cercato di riportare pari pari il testo della soluzione. Mi pare che si legga abbastanza bene, ma accetto consigli per migliorarlo

[Wilde1]

Ho letto solo l'inizio e mi sono fermato ai primi dubbi.
Quali sono stati i tentativi per mostrare la surgettività di $T$ e l'appartenenza della successione $x$ a $l^p$ ?
Prova a vedere qualche caso speciale, per esempio $p=1$ e $t(n) = \frac{1}{n^2}$

[ghira1]

"GuidoFretti":$x(n)={(0,if n=1),((n-1)t(n-1)),if n>1):}$ allora $Tx=t$
qualcuno mi spiega come si verifica ciò?$

Hai provato ad applicare $T$ ad $x$?

[GuidoFretti1]

"Wilde":Ho letto solo l'inizio e mi sono fermato ai primi dubbi.
Quali sono stati i tentativi per mostrare la surgettività di $T$ e l'appartenenza della successione $x$ a $l^p$ ?
Prova a vedere qualche caso speciale, per esempio $p=1$ e $t(n) = \frac{1}{n^2}$

Ciao Wilde, in effetti ragionandoci meglio ho capito che quelle 2 affermazioni erano in effetti abbastanza immediatamente (se non del tutto immediate da verificare).

Tuttavia sugli altri dubbi invece non sono riuscito ad arrivare a nulla di che, anzi continua a non capirci molto

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"]$x(n)={(0,if n=1),((n-1)t(n-1)),if n>1):}$ allora $Tx=t$
qualcuno mi spiega come si verifica ciò?$

Hai provato ad applicare $T$ ad $x$?[/quote]

Sisi ho capito con i vostri suggerimenti

[gugo82]

1. Verifica della suriettività di $T$.

La verifica della suriettività si fa come al solito, cioè fissato $mathbf(t)=(t_n) in l^p$ (scusa, ma preferisco usare i pedici e non le parentesi tonde...) devi mostrare che esiste $mathbf(x)=(x_n) in l^p$ in modo che $T mathbf(x) = mathbf(t)$.
Per fare ciò basta risolvere il sistema (di infinite equazioni lineari nelle infinite incognite $x_1, x_2, ..., x_n, ...$):
$\{ (x_2 = t_1), (1/2 x_3 = t_2), (1/3 x_4 = t_3), (...), (1/n x_(n+1) = t_n), (...):}$
che ha infinite soluzioni dipendenti da un parametro (perché puoi ricavare tutti gli $x_n$ ad eccezione di $x_1$, che rimane indeterminato): infatti:
$\{ (x_2 = t_1), (x_3 = 2 t_2), (x_4 = 3 t_3), (...), (x_(n+1) = n t_n), (...):} \ <=>\ \{(x_1 = c, "(" c in RR " arbitrario)"), (x_n = (n-1) t_(n-1) , "per ogni " n >= 2):}$.

2. Calcolo dell'aggiunto.

L'operatore aggiunto $T^**$ va da $l^(p^**)$ in sé, $T^** : l^(p^**) -> l^(p^**)$, ed è definito come quell'operatore tale che per ogni $mathbf(x) in l^p$ ed ogni $mathbf(y) in l^(p^**)$ risulta:

$<< mathbf(x), T^** mathbf(y) >> = << Tmathbf(x) , mathbf(y) >>$

(qui $<< *, * >>$ è il prodotto di dualità tra gli spazi, cioè $<< mathbf(a) , mathbf(b) >> = sum_(n=1)^oo a_n b_n$ per ogni $mathbf(a) in l^p$ e $mathbf(b) in l^(p^**)$).
Esplicitando la definizione di $T^**$ usando la definizione di $T$ otteniamo:

$sum_(n=1)^oo x_n (T^** mathbf(y))_n = sum_(n=1)^oo 1/n x_(n+1) y_n = sum_(n=2)^oo 1/(n - 1) x_n y_(n-1)$;

prendendo $mathbf(x) = mathbf(e)^k = (delta_n^k)$ (con $delta$ di Kronecker, quindi uguale a $1$ solo se $n=k$ ed uguale a $0$ altrimenti) con $k=1,2,3, ...$ troviamo:

$(T^** mathbf(y))_1 = 0$ e $(T^** mathbf(y))_k = 1/(k-1) y_(k-1)$ per ogni $k>= 2$

quindi l'operatore aggiunto $T^**$ è quello definito ponendo:

$T^** mathbf(y) = (0, y_1, 1/2 y_2, 1/3 y_3, ..., 1/(n-1) y_(n-1), ...)$.

3. Stima della norma operatoriale.

Per definizione è:

$norm(T)_("op") := "sup"_(mathbf(x) != mathbf(0)) (norm(Tmathbf(x))_p)/(norm(mathbf(x))_p)$;

presa una $mathbf(x) != mathbf(0)$ in $l^p$, otteniamo:

$norm(Tmathbf(x))_p^p= sum_(n=1)^oo 1/n^p |x_(n+1)|^p <= sum_(n=1)^oo |x_(n+1)|^p = sum_(n=2)^oo |x_n|^p <= sum_(n=1)^oo |x_n|^p = norm(mathbf(x))_p^p$

quindi $(norm(T mathbf(x))_p)/(norm(mathbf(x)_p)) <= 1$ e perciò $norm(T)_("op") <= 1$.
Per dimostrare che $norm(T)_("op") = 1$ si potrebbe dover trovare o qualche $mathbf(x) in l^p$ tale che $norm(T mathbf(x))_p = norm(mathbf(x))_p$ oppure una successione di $mathbf(x)^k in l^p$ tale che $lim_k (norm(T mathbf(x)^k)_p)/(norm(mathbf(x)^k)_p) = 1$, ma al momento non mi è riuscito di trovarne... Prova un po' e vedi che riesci a fare.

Lo stesso ragionamento si può usare con la norma di $T^**$.

4. Suriettività di $T^**$.

Visto che abbiamo calcolato esplicitamente $T^**$, si capisce subito perché esso non è suriettivo: la successione $mathbf(y) = mathbf(e)^1 = (delta_n^1) = (1,0,0,...,0,...) in l^(p^**)$ non ha una controimmagine dato che ogni $T^** mathbf(x)$ ha prima componente nulla.
Qui il punto è che $"Im"(T^**)$ è un sottospazio proprio chiuso in $l^(p^**)$.

Per quanto riguarda la compattezza, probabilmente la relazione che indichi viene fuori da qualche teorema... Provato a vedere qualcosa in proposito?

[xdom="gugo82"]Le questioni di Analisi Funzionale vanno inserite in Analisi Superiore e non nella stanza di Analsi di Base. [/xdom]

[Wilde1]

Riprendendo sempre dal primo punto, dal procedimento di gugo82 si vede come è possibile individuare, dato $t$, la successione $x$ tale che $Tx=t$.
Resta sempre da provare che la $x$ trovata sia effettivamente in $l^p$.

Riprendendo con il caso specifico che di avevo indicato, cioè con $p=1$ e $t_n= 1/n^2$, si ha che
\[
x_{n+1} = nt_n = n\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n} \qquad \qquad \text{per } n\ge 2.
\]
Ora la successione $(t_n)_n$ appartiente a $l^1$, cosa possiamo dire della successione $(x_n)_n$ ?

[GuidoFretti1]

"gugo82":1. Verifica della suriettività di $T$.

La verifica della suriettività si fa come al solito, cioè fissato $mathbf(t)=(t_n) in l^p$ (scusa, ma preferisco usare i pedici e non le parentesi tonde...) devi mostrare che esiste $mathbf(x)=(x_n) in l^p$ in modo che $T mathbf(x) = mathbf(t)$.
Per fare ciò basta risolvere il sistema (di infinite equazioni lineari nelle infinite incognite $x_1, x_2, ..., x_n, ...$):
$\{ (x_2 = t_1), (1/2 x_3 = t_2), (1/3 x_4 = t_3), (...), (1/n x_(n+1) = t_n), (...):}$
che ha infinite soluzioni dipendenti da un parametro (perché puoi ricavare tutti gli $x_n$ ad eccezione di $x_1$, che rimane indeterminato): infatti:
$\{ (x_2 = t_1), (x_3 = 2 t_2), (x_4 = 3 t_3), (...), (x_(n+1) = n t_n), (...):} \ <=>\ \{(x_1 = c, "(" c in RR " arbitrario)"), (x_n = (n-1) t_(n-1) , "per ogni " n >= 2):}$.

2. Calcolo dell'aggiunto.

L'operatore aggiunto $T^**$ va da $l^(p^**)$ in sé, $T^** : l^(p^**) -> l^(p^**)$, ed è definito come quell'operatore tale che per ogni $mathbf(x) in l^p$ ed ogni $mathbf(y) in l^(p^**)$ risulta:

$<< mathbf(x), T^** mathbf(y) >> = << Tmathbf(x) , mathbf(y) >>$

(qui $<< *, * >>$ è il prodotto di dualità tra gli spazi, cioè $<< mathbf(a) , mathbf(b) >> = sum_(n=1)^oo a_n b_n$ per ogni $mathbf(a) in l^p$ e $mathbf(b) in l^(p^**)$).
Esplicitando la definizione di $T^**$ usando la definizione di $T$ otteniamo:

$sum_(n=1)^oo x_n (T^** mathbf(y))_n = sum_(n=1)^oo 1/n x_(n+1) y_n = sum_(n=2)^oo 1/(n - 1) x_n y_(n-1)$;

prendendo $mathbf(x) = mathbf(e)^k = (delta_n^k)$ (con $delta$ di Kronecker, quindi uguale a $1$ solo se $n=k$ ed uguale a $0$ altrimenti) con $k=1,2,3, ...$ troviamo:

$(T^** mathbf(y))_1 = 0$ e $(T^** mathbf(y))_k = 1/(k-1) y_(k-1)$ per ogni $k>= 2$

quindi l'operatore aggiunto $T^**$ è quello definito ponendo:

$T^** mathbf(y) = (0, y_1, 1/2 y_2, 1/3 y_3, ..., 1/(n-1) y_(n-1), ...)$.

3. Stima della norma operatoriale.

Per definizione è:

$norm(T)_("op") := "sup"_(mathbf(x) != mathbf(0)) (norm(Tmathbf(x))_p)/(norm(mathbf(x))_p)$;

presa una $mathbf(x) != mathbf(0)$ in $l^p$, otteniamo:

$norm(Tmathbf(x))_p^p= sum_(n=1)^oo 1/n^p |x_(n+1)|^p <= sum_(n=1)^oo |x_(n+1)|^p = sum_(n=2)^oo |x_n|^p <= sum_(n=1)^oo |x_n|^p = norm(mathbf(x))_p^p$

quindi $(norm(T mathbf(x))_p)/(norm(mathbf(x)_p)) <= 1$ e perciò $norm(T)_("op") <= 1$.
Per dimostrare che $norm(T)_("op") = 1$ si potrebbe dover trovare o qualche $mathbf(x) in l^p$ tale che $norm(T mathbf(x))_p = norm(mathbf(x))_p$ oppure una successione di $mathbf(x)^k in l^p$ tale che $lim_k (norm(T mathbf(x)^k)_p)/(norm(mathbf(x)^k)_p) = 1$, ma al momento non mi è riuscito di trovarne... Prova un po' e vedi che riesci a fare.

Lo stesso ragionamento si può usare con la norma di $T^**$.

4. Suriettività di $T^**$.

Visto che abbiamo calcolato esplicitamente $T^**$, si capisce subito perché esso non è suriettivo: la successione $mathbf(y) = mathbf(e)^1 = (delta_n^1) = (1,0,0,...,0,...) in l^(p^**)$ non ha una controimmagine dato che ogni $T^** mathbf(x)$ ha prima componente nulla.
Qui il punto è che $"Im"(T^**)$ è un sottospazio proprio chiuso in $l^(p^**)$.

Per quanto riguarda la compattezza, probabilmente la relazione che indichi viene fuori da qualche teorema... Provato a vedere qualcosa in proposito?

[xdom="gugo82"]Le questioni di Analisi Funzionale vanno inserite in Analisi Superiore e non nella stanza di Analsi di Base. [/xdom]

Ciao gugo82, ti ringrazio per la risposta dettagliata.

Tuttavia se considero $p=2$ e $x(n)=1/n$ sbaglio o questo mi permette di dire che $T$ non è suriettiva?

Ho capito il ragionamento fatto sulla suriettività di $T**$, ma non mi è chiaro perché $Im(T*)$ sia un sottospazio chiuso proprio. Da dove si deduce la chiusura?

Grazie



P.s. la compattezza dovrebbe essere il teorema di Scheuder

[gugo82]

$"Im"(T^**)$ ha codimensione finita (perché è individuato dall'equazione lineare omogenea $y_1=0$), quindi è un sottospazio proprio; che sia chiuso viene dalla definizione.

Per quanto riguarda la suriettività di $T$, hai ragione: $T$ col cacchio che è suriettiva, perché le controimmagini di $mathbf(t) = (1/n) in l^p$ non esistono!
Quello che si può dire, però, è che $T$ ha immagine densa in $l^p$, perché $c_(00) sube "Im"(T)$ e $c_(00)$ è denso in $l^p$.

[GuidoFretti1]

$t=(1/n)$ non ha controimmagine perché un eventuale $y$ tale che $Ty=x$ sarebbe $y=(1,1,1,1,1....)$ che non sta in $l^p$ giusto?

[otta96]

Ma come fa a essere sia compatto che suriettivo? Non ha tanto senso...

[GuidoFretti1]

Infatti non è suriettivo

[gugo82]

"GuidoFretti":$t=(1/n)$ non ha controimmagine perché un eventuale $y$ tale che $Ty=x$ sarebbe $y=(1,1,1,1,1....)$ che non sta in $l^p$ giusto?

Sì. Risolvendo formalmente l'equazione $T mathbf(x) = mathbf(t)$ con $mathbf(t) = (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...)$ ottieni qualcosa che assomiglia molto a $mathbf(x) =(1,1,1,..., 1, ...)$ e tale successione (come ogni successione costante non identicamente nulla) non sta in $l^p$ per $p < oo$.

[GuidoFretti1]

Grazie mille, gentilissimo

[Wilde1]

Aggiungo solo un consiglio generico per Guido. Personalmente penso che sia conveniente per te e cortesia per gli interlocutori mostrare i conti che fai e cercare anche di seguire le strade che ti vengono indicate.
Riflettendoci maggiormente e svolgendo i conti, probabilmente risolveresti gran parte dei problemi da solo senza oltretutto commettere sviste e errori grossolani.