Spazi $l^p$
Ciao a tutti, mi è stato sottoposto questo esercizio di analisi ma non so proprio da dove partire, soprattutto per i punti b) e c).
Per $1 \le q < \infty$ si consideri lo spazio di Banach $l^q$ delle successioni reali $x = (x_k)$ tali che la serie $\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^q$ converga, munito della norma usuale.
Inoltre sia T l'operatore definito per gli $x \in l^2$ da $y=T(x)$ se $y_k = \frac{x_k}{k}$ per $k \ge 1$.
a) Provare che l'operatore $T$ è lineare.
b) Dimostrare che $T$ è continuo da $l^2$ in $l^1$.
c) Calcolare esplicitamente la norma dell'operatore $T$.
Per $1 \le q < \infty$ si consideri lo spazio di Banach $l^q$ delle successioni reali $x = (x_k)$ tali che la serie $\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^q$ converga, munito della norma usuale.
Inoltre sia T l'operatore definito per gli $x \in l^2$ da $y=T(x)$ se $y_k = \frac{x_k}{k}$ per $k \ge 1$.
a) Provare che l'operatore $T$ è lineare.
b) Dimostrare che $T$ è continuo da $l^2$ in $l^1$.
c) Calcolare esplicitamente la norma dell'operatore $T$.
Risposte
Per (b) tieni conto del fatto che
\[
(1) \qquad
|a b| \leq \frac{a^2+b^2}{2}\,,
\qquad \forall a,b\in\mathbb{R},
\]
da cui segue che
\[
|y_k| \leq \frac{1}{2} |x_k|^2 + \frac{1}{2k^2}\,.
\]
Se \(x\in \ell^2\), entrambe le serie il cui termine generale compare a secondo membro sono convergenti.
Per (c) tieni conto che, in (1), si ha uguaglianza se \(|a| = |b|\), dunque se \(|x_k| = 1/k\).
\[
(1) \qquad
|a b| \leq \frac{a^2+b^2}{2}\,,
\qquad \forall a,b\in\mathbb{R},
\]
da cui segue che
\[
|y_k| \leq \frac{1}{2} |x_k|^2 + \frac{1}{2k^2}\,.
\]
Se \(x\in \ell^2\), entrambe le serie il cui termine generale compare a secondo membro sono convergenti.
Per (c) tieni conto che, in (1), si ha uguaglianza se \(|a| = |b|\), dunque se \(|x_k| = 1/k\).
Grazie mille, io mi sono persa pensando di dover usare le norme in $ l^p $ e non riuscivo a venirne a capo.
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