Spazi l^2
In un corso di metodi matematici (faccio ingegneria) hanno nominato gli spazi di Hilbert e, tra questi, lo spazio $ l^2 $. Spulciando un po' in giro e su qualche libro in biblioteca mi si è aperto un mondo davvero affascinante che non mi spiacerebbe tentare di esplorare un po'. Subito però mi sono trovato alle prese con il significato "concreto" di questi spazi $ l^2 $. La dimostrazione del perché sono completi, per dire, credo di averla afferrata, ma concretamente non riesco a capire se è giusto, ad esempio, dire che tale spazio è interpretabile come uno spazio cartesiano a infinite dimensioni. 
Risposte
spazio cartesiano a infinite dimensioni
E' esattamente quella l'idea. (In genere si dice "spazio euclideo").
Quindi, se ho capito bene, le coordinate di un generico punto $ P-= (x_1,x_2,...,x_n,...) $ non sono altro che una successione $ {x_k}{::}_(\ \ k=1)^(oo ) $ che soddisfa la condizione di appartenenza a $l^2$, cioè di essere quadrato sommabili, dico bene?
PS: Intanto grazie per la risposta.
PS: Intanto grazie per la risposta.
"Riemanniano":
Quindi, se ho capito bene, le coordinate di un generico punto $ P-= (x_1,x_2,...,x_n,...) $ non sono altro che una successione $ {x_k}{::}_(\ \ k=1)^(oo ) $ che soddisfa la condizione di appartenenza a $l^2$, cioè di essere quadrato sommabili, dico bene?
PS: Intanto grazie per la risposta.
Esatto!
Grazie anche a te per la risposta. Ne approfitto per chiedervi un'altra delucidazione che sicuramente troverete stupida ma per me non lo è affatto.
Prendiamo $ P-= (1,1/2,...,1/k,...) $ e $ Q-= (1,2,...,k,...) $, allora $P$ appartiene ad $l^2$ e $Q$ no. Il fatto che in un simile spazio vengano quindi esclusi tutta una serie di punti (quelli le cui coordinate non formano una successione quadrato sommabile) mi fa sorge spontanea una domanda tipicamente ingegneristica: che utilità ha creare un simile spazio?
Qualcosa dovrebbe centrare lo sviluppo in serie di Fourier e l'approssimazione in norma, ma al momento non riesco a vedere il nesso tra le due cose.
Se riusciste ad accennarmelo o a consigliarmi qualche libro/link in cui approfondire questo legame ve ne sarei grato.
Prendiamo $ P-= (1,1/2,...,1/k,...) $ e $ Q-= (1,2,...,k,...) $, allora $P$ appartiene ad $l^2$ e $Q$ no. Il fatto che in un simile spazio vengano quindi esclusi tutta una serie di punti (quelli le cui coordinate non formano una successione quadrato sommabile) mi fa sorge spontanea una domanda tipicamente ingegneristica: che utilità ha creare un simile spazio?
Qualcosa dovrebbe centrare lo sviluppo in serie di Fourier e l'approssimazione in norma, ma al momento non riesco a vedere il nesso tra le due cose.
Se riusciste ad accennarmelo o a consigliarmi qualche libro/link in cui approfondire questo legame ve ne sarei grato.
I punti che tu dici essere esclusi sono quelli che hanno distanza infinita dal centro. In dimensione maggiore di uno esiste un solo infinito, quindi di fatto tutti quei punti (cioè tutte le successioni la cui somma dei quadrati diverge) sono praticamente "lo stesso punto" (hanno tutti norma l2 infinita). Lo spazio l2 è allora lo spazio a cui appartengono i punti con cui è interessante fare operazioni.
Ci sono poi altre considerazioni legate al fatto che la somma dei quadrati molto spesso si può interpretare come un'energia fisica, e quindi le cose che hanno energia finita sono quelle che esistono nel mondo reale, e per questo sono interessanti.
Ci sono poi altre considerazioni legate al fatto che la somma dei quadrati molto spesso si può interpretare come un'energia fisica, e quindi le cose che hanno energia finita sono quelle che esistono nel mondo reale, e per questo sono interessanti.
Perfetto, grazie mille anche a te. Ora mi sono più chiare diverse cose. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo