Spazi di hilbert?

[lgks98]

domanda:
lo spazio l2 è uno spazio di hilbert, ma in esso ci sono sempre infiniti elementi e quindi ha sempre dimensione infinita ?

[killing_buddha]

Anche in $RR$ ci sono infiniti elementi, cosa c'entra?

[lgks98]

"killing_buddha":Anche in $RR$ ci sono infiniti elementi, cosa c'entra?

cioè scusa,volevo dire devo far vedere che una base è fatta da un numero infinito di elementi ?

[Ernesto011]

Prendi ${e_n}$ con $e_n$ che ha tutti zeri, tranne un 1 nell'n-esimo termine della successione.
Cioè $e_1=(1,0,0...)$,$e_2=(0,1,0,...)$ ect.
Dimostri che $ =\delta_{nm}$ (facile)
Quindi ${e_n}$ è un sistema ortonormale numerabile, sarebbe da dimostrare che è completo, cioè che $span{e_n}$ è denso in $l^2$ (non è difficile). Altrimenti è noto che ogni sistema ortonormale è contenuto in un sistema ortonormale completo, da cui segue che $l^2$ ha una base ortonormale infinita.

[Sk_Anonymous]

... se lo spazio di Hilbert e' separabile (ne esistono anche di non, tipo lo spazio delle funzioni continue quasi periodiche).

[gugo82]

@kyrgios: Da quanti elementi è formata una base di $RR$? E di $RR^2$?
Saranno pure spazi di Hilbert banali, ma sono pur sempre ottimi spazi.