Spazi di Hilbert
Salve stavo svolgendo il seguente esercizio di Analisi Funzionale e ho un dubbio su un punto.
Siano $ A != O/ $, $V := l^2(A)$ insieme delle funzioni $f: A -> K$ (K campo) tali che $ sum_(a = A) |f(a)|^2 < oo $ con le operazioni definite da:
$(lambda f)(a) = lambda f(a) $ e $(f+g)(a) = f(a) + g(a)$ per ogni $a in K$, $f,g in V$. Dimostrare che:
1) V è spazio vettoriale
2) $ := sum_(a=A) bar(f(a)) g(a) $ con $f,g in V$ è prodotto scalare
3) $(V, <.|.>)$ è una spazio di Hilbert
Allora per i punti 1 e 2 non ho avuto problemi, riguardo il 3 punto volevo dei chiarimenti ed un aiuto. Per dimostrare che $(V, <.|.>)$ sia spazio di Hilbert devo dimostrare che $(V, ||.||)$ sia completo, dove la norma è quella definita dal prodotto scalare. Perciò quello che dovrei fare è dimostrare che ogni successione di Cauchy in V converge ad un elemento di V stesso, il fatto è che non riesco proprio a scrivere bene questo punto, potete aiutarmi? Grazie.
Siano $ A != O/ $, $V := l^2(A)$ insieme delle funzioni $f: A -> K$ (K campo) tali che $ sum_(a = A) |f(a)|^2 < oo $ con le operazioni definite da:
$(lambda f)(a) = lambda f(a) $ e $(f+g)(a) = f(a) + g(a)$ per ogni $a in K$, $f,g in V$. Dimostrare che:
1) V è spazio vettoriale
2) $
3) $(V, <.|.>)$ è una spazio di Hilbert
Allora per i punti 1 e 2 non ho avuto problemi, riguardo il 3 punto volevo dei chiarimenti ed un aiuto. Per dimostrare che $(V, <.|.>)$ sia spazio di Hilbert devo dimostrare che $(V, ||.||)$ sia completo, dove la norma è quella definita dal prodotto scalare. Perciò quello che dovrei fare è dimostrare che ogni successione di Cauchy in V converge ad un elemento di V stesso, il fatto è che non riesco proprio a scrivere bene questo punto, potete aiutarmi? Grazie.
Risposte
La cosa migliore è andare a prendere la dimostrazione che \(\ell^2\) è completo (che troverai sicuramente sul tuo libro) e modificarla per adattarla al tuo caso. Qui \(\ell^2=\ell^2(\mathbb N)\).
Oddio al momento non ho un libro, visto che utilizziamo gli appunti del corso. Tuttavia volevo proprio capire come poterlo dimostrare in ogni caso, perché ok prendere una successione di Cauchy ecc.. ma poi come dimostro che la successione ha come limite un elemento dello spazio?..
Proprio per quello devi andare a vedere la dimostrazione che \(\ell^2(\mathbb N)\) è completo, così capisci come si fa a dimostrare una cosa del genere. Dopo toccherà capire come adattare la dimostrazione al tuo caso, superando la difficoltà costituita dall'avere un insieme \(A\) generico invece di \(\mathbb N\). Cerca "ell two space is complete" in Google se non hai un libro (ma ti consiglio di procurartene qualcuno, anche in pdf, in modo da avere dei riferimenti solidi e non solo degli appuntini).
Vedo dopo se sul libro che ho usato per un altro esame, altrimenti cerco su internet! Grazie!
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