Sottospazio ortogonale in uno spazio di Hilbert
Sia $X$ uno spazio di Hilbert e $\varphi \in X' \setminus \{0\}$. Posto
$$C=\{x \in X: \varphi(x)=1\},$$
devo dimostrare che $C^{_|_}=\{0\}$.
Chiaramente $C^{_|_}=\{y \in X: (y|x)=0, \forall x \in C\}$. Ho pensato di sfruttare il Teorema di Rappresentazione di Riesz, considerando l'elemento $z \in X$ tale che $\varphi(x)=(z|x)$ per ogni $x \in X$. Tuttavia questo non mi aiuta.
Ringrazio in anticipo chi mi vorrà dare un suggerimento.
$$C=\{x \in X: \varphi(x)=1\},$$
devo dimostrare che $C^{_|_}=\{0\}$.
Chiaramente $C^{_|_}=\{y \in X: (y|x)=0, \forall x \in C\}$. Ho pensato di sfruttare il Teorema di Rappresentazione di Riesz, considerando l'elemento $z \in X$ tale che $\varphi(x)=(z|x)$ per ogni $x \in X$. Tuttavia questo non mi aiuta.
Ringrazio in anticipo chi mi vorrà dare un suggerimento.
Risposte
Idiozia - cancellato
Si dimostra facilmente che $C$ è chiuso, convesso e non vuoto ma non essendo un sottospazio vettoriale la proiezione $P_C $ non è lineare. Giusto?
"mombs":
Si dimostra facilmente che $C$ è chiuso, convesso e non vuoto ma non essendo un sottospazio vettoriale la proiezione $P_C $ non è lineare. Giusto?
Si' hai ragione, ho scritto una fesseria. Cancello il post precedente e ci ripenso domani.
Non saprei come si fa, ma è facile osservare che \(C^\perp\subset \ker \varphi\) perché \(\frac{v_\varphi}{\varphi(v_\varphi)}\in C\). Da qui si riesce a dire qualcosa di sensato?
Ci ho pensato un po', ma non mi sono venute idee risolutive.
Da dove proviene questo esercizio?
Da dove proviene questo esercizio?
Poiché \(\varphi\in X'\setminus\{0\}\), per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste (un unico) \(\xi\in X\setminus\{0\}\) tale che \(\varphi(x) = (\xi | x)\) per ogni \(x\in X\).
Abbiamo che \(X = \mathbb{R}\xi + \text{ker}\varphi\), dal momento che
\[
\forall x\in X: \quad x = (\xi | x) \, \frac{\xi}{|\xi|^2} + z,
\qquad \text{con}\ z\in\text{ker}\varphi.
\]
D'altra parte, si verifica immediatamente che
\[
\frac{\xi}{|\xi|^2} + z \in C
\qquad\forall z\in\text{ker}\varphi,
\]
quindi \(\text{span} \, C = X\), dunque \(C^\perp = \{0\}\).
Abbiamo che \(X = \mathbb{R}\xi + \text{ker}\varphi\), dal momento che
\[
\forall x\in X: \quad x = (\xi | x) \, \frac{\xi}{|\xi|^2} + z,
\qquad \text{con}\ z\in\text{ker}\varphi.
\]
D'altra parte, si verifica immediatamente che
\[
\frac{\xi}{|\xi|^2} + z \in C
\qquad\forall z\in\text{ker}\varphi,
\]
quindi \(\text{span} \, C = X\), dunque \(C^\perp = \{0\}\).
Grazie mille per la spiegazione, ora mi è tutto chiaro! Grazie anche a tutti gli altri contributi.
@Rigel: io purtroppo non ho capito. Supponiamo \(|\xi|=1\). Allora \(x=(x|\xi)\xi + z\) e \(\xi+z\in C\). Come concludi che \(x\in \mathrm{span}\ C\)? Sembri suggerire di scrivere
\[
x= (\xi+z) +((x|\xi)-1)\xi, \]
ma il secondo addendo non ha obbligo di essere un elemento di \(C\).
\[
x= (\xi+z) +((x|\xi)-1)\xi, \]
ma il secondo addendo non ha obbligo di essere un elemento di \(C\).
"dissonance":
@Rigel: io purtroppo non ho capito. Supponiamo \(|\xi|=1\). Allora \(x=(x|\xi)\xi + z\) e \(\xi+z\in C\). Come concludi che \(x\in \mathrm{span}\ C\)? Sembri suggerire di scrivere
\[
x= (\xi+z) +((x|\xi)-1)\xi, \]
ma il secondo addendo non ha obbligo di essere un elemento di \(C\).
Hai che $\xi + z \in C$ per ogni $z\in \text{ker} \varphi$. In particolare $\xi\in C$ e dunque $\mathbb{R} \xi + \text{ker}\varphi \subset \text{span} C$. Ma $\mathbb{R} \xi + \text{ker}\varphi = X$.
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